初中数学课上吵了半小时，竟是因为这道题！——梯子滑落时中点的轨迹是什么样的...

在这篇笔记中我们简要介绍一些与视频中的曲线族相关的平面几何学。

视频中位于第一象限內的线段族方程为y/t-x/(1-t^2)^1/2=1，x>=0, y>=0, 1>t>0，其中t为时间参数。为方便起见我们将第一象限內的线段族经由x轴和y轴对称反转延拓为分段光滑闭曲线族F(x,y;t)=0，其中F(x,y;t)=-1+|y|/t-|x|/(1-t^2)^1/2，1>t>0。

又由视频中的计算可知，视频中分线段成比例k:=a/b的点的轨迹为椭圆y^2/k^2+x^2/(1-k)^2=1，由此得到一个关于参数k的椭圆族E(x,y;k)=0，其中E(x,y;k)=-1+ y^2/k^2+x^2/(1-k)^2，1>k>0。

由曲线与曲面的微分几何，上文中定义的参数族E(x,y;t)=0和F(x,y;t)=0共包络线C：x^2/3+y^2/3=1，并且轨迹都铺满Jordan曲线C的内部。闭曲线C称作对称星形线，C的内部为平面上一个的中心对称星形区域，由微积分得其面积为3π/8，周长(即C的弧长)为6。

由于曲线C中心对称，我们知道C不是任何椭圆的渐屈线。由星形线的特征性质，我们知道C是其自身等比缩放1/2倍后所成的曲线的渐屈线。

由于方程x^2/3+y^2/3=1可化简为(-1+x^2+y^2)^3+27x^2y^2=0，我们知道C为含有4个奇点的六次平面实代数曲线，并且由ADE分类可知其所有奇点均为A_2型cusp（c.f. 四顶点定理）。考虑代数曲线C在xy仿射平面上的坐标函数x，在复化后函数x为C上的非平凡亚纯映照，对x应用分岐覆盖的Riemman-Hurwictz公式，可以计算得C有亏格g=0，复化后有6个尖点和4个二重点，总计10个奇点，特别的，复解析化后所得的黎曼面双有理等价于射影直线CP^1。