实变函数漫谈(3)开集

  开区间,闭区间，从初等数学的角度看过去好像没什么本质区别，无非就是除掉了边界点和包含边界点的区别。但是它们包含了非常不一样的极限性质，它们是一对互为对偶的概念。开区间中的任何点都处于区间的内部，,这对于闭区间的边界点是做不到的。闭区间中的任何数列都会收敛到区间内，这是开区间做不到的。也就是说如果某个集合是开集，那么你可以对任何其中的点进行一个局部性质的分析，因为它总有个开邻域完全在开集中。而如果一个集合是闭集你就可以确定极限是存在的。

  再复述一遍：开集就是每一个点都是内点的集合，闭集是极限点都属于集合的集合。直观上看似不相干的定义，其实恰好给出开集就是闭集的余集。也就是说前面两句看起来没有联系的话互为否命题了。因为集合的每一个点都是内点，所以任何点都不能成为的极限点，为闭集，反之如果的极限点都在中，则中的点不能是的极限点，所以的点必然存在一个开邻域不包含任何的点，从而的点都是内点，为开集。