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《几何原本》命题1.42【夸克欧氏几何】

2023-06-25 12:32 作者:一粒夸克  | 我要投稿

命题1.42:

可用一已知角作一平行四边形等于已知三角形


已知:△ABC,∠D

求:用∠D作一平行四边形使其等于△ABC

解:

取BC中点点E

(命题1.10)

连接AE

(公设1.1)

在EC上以点E为顶点作∠CEF=∠D

(命题1.23)

过点A作AG∥BC,与EF交点记作点F

(命题1.31)

过点C作CG∥EF,与AG交点记作点G

(命题1.31)

求证:四边形EFGC是平行四边形,且SEFGC=S△ABC

∵AG∥BC,CG∥EF

(已知)

∴四边形EFGC是平行四边形

(定义1.22)

∵BE=EC,AG∥BC

(已知)

∴S△ABE=S△AEC

(命题1.38)

∵S△ABC=S△ABE+S△AEC

(已知)

∴S△ABC=2S△AEC

(公理1.1)

∵CE公用,AG∥BC

(已知)

∴S▱EFGC=2S△AEC

(命题1.41)

∴S▱EFGC=S△ABC

(公理1.1)

∵∠CEF=∠D

(已知)

∴已用∠D作出▱EFGC,使SEFGC=S△ABC


证毕


此命题将在命题1.44&1.45中被使用


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