本文译自A. V. Akopyan, A. A. Zaslavsky, trans. Alex Martsinkovsky, Geometry of Conics, American Mathematical Society, 2007.
翻译：野吕侯奈因
仅供学习交流使用
译者按：
       本书在几何爱好者之间小有人气，但目前网上只能找到一些零散的翻译．鉴于目前通行的数学教学中对于二次曲线问题的处理方式过于单一，希望能借翻译本书的机会来推广一下二次曲线的射影几何视角．

1.4. 圆锥曲线中的等角(isogonal)关系

       光学性质为许多神奇的结论提供了简单的证明方式．
定理1.3. 过椭圆外一点引椭圆的两条切线，切点为与．则有（和为椭圆的两焦点）．

（译者注：该定理也被称作彭赛列小定理(Poncelet's little theorem)．）
证明. 分别作出、关于和的对称点、（图1.15）．

       则有及．且、和三点共线（由光学性质）．对于、和也同理．故有．因此（由SSS判定）．于是就有故可得．

（作者注：在此只针对和在内部且在内部的情况．不过其余情况证法也类似．）

（译者注：在此给出两种不同情况的直观形式，证明基本与上文一致，就不赘述了．（图e）（图f））

           图1.6展示了在双曲线中的类似性质。

（作者注：读者应自行思考切点位于同支和异支的两种情况．）

（译者注：切点位于异支的情况如下．在此也是只给出其直观形式，证明可仿定理1.3（图g）．）

        作出与相切的以、为两焦点的椭圆或双曲线．则有以下结论：、、．

（译者注：由定理1.3，上述结论是显然的，在此给出几个直观形式（图h；图i）．不过对于双曲线，有时其中一角的相等关系也会变为互补关系，这是切点与切线交点的相对位置不同导致的．（图j））

       我们将会在2.3中详细介绍以下内容：在平面中，对于几乎任意的（存在少数例外）点都有唯一的一点使得以、为焦点的圆锥曲线与一三角形的每条边都相切．其中的就叫做关于某个三角形的等角共轭点(isogonal conjugate)．

       另外，证明定理1.3用到的辅助线也带来了另一个有趣的结论．由，有．故可得．

（译者注：见图1.15）

       于是我们也就能证明以下定理1.3的延伸结论．

定理1.4. 沿用定理1.3的记号，有直线平分（图1.17）

定理1.5. 过一点引一给定椭圆的两条切线，若两条切线垂直，则该点轨迹为一个以椭圆中心为圆心的圆．（图1.18）

（译者注：该圆也被称为蒙日圆(monge's circle)或准圆(director circle)）

证明. 设椭圆焦点为、，两切线切椭圆于点、并交于点．作出关于的对称点．由定理1.3有且，即长度等于椭圆的长轴长（拴住山羊的绳长）．而当且仅当（由勾股定理）时才为直角．因此当且仅当的值等于长轴长的平方时才为直角．不难发现该条件将点的运动轨迹限制在一个圆内．实际上，若是在平面直角坐标系中设坐标为，坐标为，则有点满足，其中为长轴长的平方．而不难发现其中和项的系数相等（都为2）且项的系数为零，故满足该条件的点的集合为圆．由对称性，不难发现其圆心为线段的中点．

       对于双曲线，这个圆就不总存在了．当双曲线的两渐近线夹锐角时，此圆的半径就会呈虚数．而两渐近线恰垂直时，此圆又会退化为双曲线的中心这一个点．

例. 给定一系列点及系数与，则有满足的点的轨迹为一个圆，该圆被称作费马-阿波罗尼斯圆(Fermat-Apollonius circle)．显然，有时此圆半径会呈虚数（试问何时取得？）．

（译者注：首先，经整理，原方程中和项的系数都为且项的系数为零，故满足该条件的点的集合为圆．其次，若设在平面直角坐标系中对应的坐标为，则有当时半径呈虚数．）