大学物理（原子物理学）知识梳理与例题选讲：§02 原子的玻尔模型

热辐射的背景知识

# 热辐射

## 热传递的形式

• 热传导：两物体接触传热
• 热对流：温度改变而引起的密度变化，进而产生蠕动
• 热辐射：电磁波作用【经典理论】（光子的碰撞）

## 热辐射的量化

电磁波的能量【具体查看：[电磁学：麦克斯韦理论-电磁波的动力学性质](https://www.bilibili.com/video/BV1ix411q74g/?p=3)】

• 能量密度：单位体积的能量，体现能量的多少（量纲：焦耳J）
• 能流密度：单位面积所流入的功率

### 能量密度

• 总能量密度U(r, t)
• 能量谱密度u(r, v, t)：某一频率/波长在单位时间的能量

能量谱密度u(r, v, t)的波长表达式u(r, λ,t)

### 能流密度

总功率ψ

### 辐射照度

描述外界的作用，而能流密度描述体系向外界的作用

• 能流密度体现辐射本领

• 总辐射照度E：单位面积接收外界的能量
• 辐射谱密度e
• 吸收本领：（衡量？）体系对外辐射的响应

不同频率的光有不一样的吸收本领

## 热辐射的公式

### 基尔霍夫辐射定律

其中 r(v,T)为能流的谱密度、α(v,T)为吸收本领、e(v,T)为辐射照度的谱密度【注意 T 为温度，而非时间 t 】

注意：公式的条件，即上图中标注五角星的公式（体现物理意义：吸收=释放），而以下为普适公式

### 公式2（up 省略推导）

其中 e(v,T) 为辐射照度的谱密度、u(v,T)为能量密度的谱密度【注意 T 为温度，而非时间 t 】

注意：此公式需为平衡态才能使用

推导可参看：赵凯华《量子物理》-第一章

### 黑体辐射

• 黑体：【热学】对外完全吸收辐射，而不发生反射

黑体模型：开小孔的箱子（内有褶皱）

使用基尔霍夫辐射定律与公式2

可得

黑体辐射能量密度公式的版本：

• Wien 公式

当加入无理由假定——分子的动能与辐射频率成正比，可得

拟合曲线：处于上方曲线为实验，处于下方曲线为 Wien公式

• Rayleigh-Jeans公式

其中 k 为玻尔兹曼常数

拟合曲线：其为二次函数

明显问题：当频率无限增大则能量将趋于无穷，与事实相矛盾，因此引发“紫外灾难”

### 普朗克提出量子化

• Planck公式【推导需使用热统】

能量的谱密度u公式理解

### 拓展的热辐射公式

• Stefan-Boltmann 公式

其中R 为总辐射流密度

推导过程（由 Wien 公式）

• Wien 位移定律

推导过程（使用 Wien 公式）

求导可得

光电效应

# 光电效应

• 定性判断：光的能量传递给阴极的电子使之能从金属中逸出
• 定量【流出金属的电子数量（流量？）、电子的逸出速度】：无法使用电磁波理论解释

## 测量方法

### 电子速度

原理：通过电子克服电场力的功求出电子速度

操作流程：调节上图中的变阻器 => 调节下图中的电容器的电压

调节变量：

• 入射的光强
• 金属材料
• 入射波的波长

图像：

• i-u 图像：光电流 i 与外加电压 u 的关系
• u0-v图像：截止电压 u0 与光的频率 v 的关系

#### i-u 图像的特点

• 光电流增长存在极限值 i_m，即饱和电流
• 外加电压存在截止电压 u0

• 饱和电流 i_m：正比于光强，但也有饱和值

原理：光强为能流密度，则其越大则越能使电子的流量越大；饱和值则为金属可逸出电子有限

• 截止电压u0

原理：逸出电子速度与 `到阳极的最短距离` 的 `最大投影速度` 亦不能克服电场力到达阳极时的电压

#### u0-v 图像的特点

• 截止频率v0：发生电子逸出的最小频率（即电子逸出与频率有关，而与光强无关。【ps: 但事实是一个电子未必只吸收一个光子。当光强较弱时，越是如此；当光强较大时也会发生电子逸出----中科院物理所.《1分钟物理》学习篇第40问】）

## 经典电磁学的问题

注：下图中标出星号的为经典电磁学的出现问题的地方

• 弛豫：达到稳定所需时间

经典电磁学的所计算出的电子达到稳定逸出的时间（即弛豫时间）为分钟数量级，但实际为10^-9 s的数量级

## 光电效应的解释

光的本质探讨：粒子性与波动性

光的粒子性体现出量子性

由光具有粒子性，可得【爱因斯坦】

由此可以解释：u0-v图像（截止电压 u0 与光的频率 v 的关系）

• 瞬间性问题：光子与电子碰撞过程较短，因此弛豫时间十分短暂

### 实验：应用爱因斯坦光电方程

• 拟合

• 计算

谱线经验公式

问题：分立光谱的出现

# 氢光谱经验公式

## 巴尔末经验公式

其中n为正整数

## 里德伯经验公式

适用于范围：可见光谱线

注意：波数 υ^~$ 区别于频率υ

### 里德伯经验公式拓展——谱线系

玻尔模型的内容

# 玻尔模型

## 三条假设

• 定态假设：电子在围绕原子核定轨运动
• 能量量子化假设：原子内部为分立的能量态
• 角动量量子化假设

• 跃迁：基于能量量子化假设，电子在不同能级间跳跃

注意：区别普朗克常量ℎ与ℏ的不同

## 电子轨道性质

### 力学性质

电子受力F的通用表示与两体问题的约化质量

### 轨道性质求解

• 轨道半径r_n和速度v_n

• 轨道能量E_n：动能 + 势能

## 里德伯经验公式证明

证明过程如下

注意：在历史的早期使用电子质量m表示，而不是约化质量μ，之后的探索中（同位素），改为约化质量

### 里德伯常量R

#### 特殊的里德伯常量R

• R_∞：当氢核质量M无限大时的里德伯常量

#### 一般的里德伯常量R

已知如下，求里德伯常量R

结果为

• 单电子时，在不同元素可以表示为

则里德伯常量R，可得

• 类氢原子： He^+、Li^2+

## 氢原子轨道的性质

已知

### 轨道半径 r_n

• 氢原子H

• 类氢原子（He^+、Li^2+）轨道半径 r_n

### 轨道能量E_n

• 氢原子H

基态：能量最低的能级

第一激发态：第二低的能级

第二激发态：第三低的能级

……

• 类氢原子：He^+、Li^2+

轨道性质总结

### 跃迁的波数ν^~

注意：基态能量E_1为负数，而里德伯常量R_H为正数

里德伯常量的简化可由

# 玻尔模型的缺陷

• 实际角动量 L_n 量子化应该为

• 半经典半量子的观点，使其只能适用对称性较好的体系，而不适用多电子体系
• 定态假设，电子不发生辐射

卢瑟福的质疑：电子如何定态？

薛定谔的质疑：电子跃迁的中间过程的能量状况？

玻尔模型的例题

# 回顾

• 在反平方比的F适用α
• 两体问题适用约化质量μ

# 例1：同位素

## 例1-1

## 例1-2

求解：（其中m_p为质子质量，m_e为电子质量）

注意：约化质量μ可以取 1H与2H的平均，也可取1H

## 例1-3

即为求解Δμ / μ，以下仅表示出Δμ

# 例2：轨道状态

由万有引力F，可得（其中m_p为质子质量，m_e为电子质量）

• 半径r_n

注意：需要考虑题目是否为——质子质量m_p 远大于电子质量m_e

• 能量E_n

注意：当可以不用修正约化质量μ时，才可以使用约等于

• 基态半径r_1与基态能量E_1

一些常数

基态半径r_1的数量级估计

基态能量E_1的数量级估计

对比库仑力的基态能量E_1

# 例3：电子偶素

• 系数α和约化质量μ

## 例3-1

在正电子为参考系，可得基态半径r_1

当使用地面系，即质心参考的提示

## 例3-2 求解电离能，即求解基态能量E_1

## 例3-3：基态跃迁到第一激发态的跃迁能

弗兰克-赫兹实验

# 物理过程

初始：电子（少量）激发后以微弱速度往G，同时与汞蒸气碰撞，汞跃迁（极少） -> 基态 -> 发光（微弱）。可认为不发生汞原子的碰撞，电子加速到G，然后G-P段减速

# 图像

## 发光区域

随着K-G电压的增大，发功区域：最远处从G -> K

## 电流

K-P电压增大所以虽然呈现波动电流，但电流整体为波动上升的

## 电压峰值间隔

电压为峰值间隔电压4.9v，其为汞原子的基态跃迁到第一激发态的能量4.9eV

# 留下的问题：汞原子跃迁到其他激发态

两种情况：汞原子跃迁到其他激发态

• 在电压较高的时候，电子开始未与汞原子碰撞，当电子能量较高时，直接将汞原子激发到更高的激发态
• 电子开始与多个汞原子碰撞，汞原子均跃迁到第一激发态（后面的电子将使得处于第一激发态的汞原子跃迁到更高的激发态）

## 实验装置的改进