2023数分Day10（连续性与一致连续1：连续性语言训练）
一、整体感受
要多写，多理解，一道题写上三遍体会更深
二、需要掌握的
1、单调有界定理及其常用性质（下会给出证明，证明过程多写几遍，多理解、真题中可以直接用到这个性质，书写该定理证明可充分复习单调有界原理、确界原理以及上下确界的理解深化）
2、归结原则
3、致密性定理：有界函数必有收敛子列
4、区分间断点类型（第一类：可去、跳跃；第二类）
(1)个人理解：
①对于可去间断点而言，它的左右极限存在且相等，可以记为A，但是呢要么该点无定义，要么这个点处函数值不等于该点的极限值A；
注意：左右极限存在且相等是可去间断点的特征！
②对于跳跃间断点呢，是左右极限存在，但是不相等.
尤其是在单调情况下，如果是间断点，必然是跳跃间断点！因为如果是可去间断点，那么左右极限存在且相等，这一点就符合连续的定义了！！
③第二类呢就是至少有一侧不存在极限（比如极限趋于+∞）
(2)七道习题说明间断点如何区分[数分上P71，Ch4.1习题2]
4、证明连续性的五种方法（利用定义、左右极限、序列语言、邻域语言、连续函数的运算性质五种）
三、具体真题
本节内容有点多，分成三部分
（一）是每日一题Day10的真题及其补充
（二）是函数单调性与连续性的真题总结
（三）是裴中关于连续性证明与应用部分的9道真题，注意其中讲述的五种连续性的证明方法
（一）每日一题Day10的真题及其补充
1【安徽大学】
①假设单增
②然后反证，若不连续，存在一个点x0，使得x0为f(x)的间断点
③利用单调有界定理的常用性质得到左极限和右极限存在，而且满足f(x0-0)≤f(x0)≤f(x0+0)
④下证等号取不到，反证，如果取到说明x0连续，与假设的这个间断矛盾，所以必定有左极限严格小于右极限；
⑤因此任取一点ξ满足它大于左极限同时小于右极限，而且≠f(x0)，这个点ξ必然属于【f(a),f(b)】；
任取x∈[a,x0），有f(x)≤f(x0-0)<ξ；
任取x∈(x0,b]，有f(x)≥f(x0+0)>ξ.这说明f(x)在[a,b]上取不到ξ，这与已知的f(x)可取到f(a)与f(b)之间一切值矛盾，于是连续。
⑥另外，对端点a和b，只需考虑单侧极限也可得到矛盾。
综上，f(x)为[a,b]上的连续函数.
2【电子科大】
①先设出g的值域为I
②用反证法说明f在g的值域上连续，
若f在g的值域上不连续→则存在u0∈I，s.t.f在u0处不连续（这一步容易写错，多写几遍）
③则存在｛un｝包含于I，满足un→u0(n→∞），但不满足f(un)→f(u0)(n→∞）
④现在设｛xn｝包含于【a,b】，满足g(xn)=un，由于｛xn｝是有界数列，所以一定存在收敛子列（致密性定理），为了方便，不妨设｛xn｝收敛且极限为x0,显然x0∈[a,b]（因为｛xn｝自身也是｛xn｝的子列）
⑤由于g在【a,b]上连续，可得g(x0)=u0;
⑥再结合fog在【a,b】上连续，可得f(un)→f(u0)（n→∞），这与③矛盾.
因此综上，f在g的值域上连续。
【多写几遍，⑤和⑥的细节我这里省略了，是需要多写几次的，细节看图片】
3【华南理工】
①利用有界性，找个M，然后写出有界的定义
②利用题干函数迭代式得到F（0）=0
③再次利用题干迭代式得到F（x)=F(a^n*x)/b^n
④对于M/b^n→0（n→∞），写出定义式，特别当n=N时候，得到M/b^N→0（n→∞），这说明M/b^N＜ε
⑤取δ=1/aN，当0<x<δ,s.t.a^N*x∈（0，1）
⑥|F(x)-F（0）|＜ε，这说明F（x）在x=0处右连续.
【下补充两道类似习题2022天大和华师大以及课本Ch3总练习题10+11】
4【北师大】
属于这六道题中最难的一道，需要至少写三遍
思路很清晰的，就是利用M（x）单调递增，说明每一点单侧极限都存在(题1也用到了），然后只要证明M（x0-0）=M(x0)=M(x0+0)即可，分两步证，一个证左极限=M（x0）,一个证右极限=M(x0)；最后利用x0任意性，就知道M（x）在【a,b】上连续。
（细节请见图，证右极限时候还要用一下反证法）
【补充一道上确界的题目，如果是下确界相应符号取反即可】
5【北师大】
考察了一个压缩映射
思路：先证存在性，再证唯一性
【补充CMC初赛二届数学类题一】
6【中国科大】
法一：知道绝对值函数的性质后避免分类讨论做
法二：如果不知道这个绝对值函数的性质用分类讨论也可做出来
思路就是最后逼迫这个f=0即可
【补充：Ch4.1习题4，对于一些连续性质说明、比如取绝对值/平方后是否还连续的证明】
（二）函数单调性与连续性的真题总结
（三）裴中关于连续性证明与应用部分的9道真题，注意其中讲述的五种连续性的证明方法
