有界函数，无界函数

牛顿306、有界函数，无界函数

有界是指有上界或者有下界中的一个即可，还是既有上界又有下界？——网友提问

…有、界、有界：见《牛顿303~305》…

2021-07-20，百度网友78f12a1：既有上界又有下界。

 

函数f在定义域内有界的充分必要条件是：在定义域内既有上界又有下界。

举例，一般来说，连续函数在闭区间具有有界性。

…连、续、连续：见《欧几里得44》…

…函、数、函数：见《欧几里得52》…

…性：1.物质所具有的性能；物质因含有某种成分而产生的性质：黏～。弹～。药～。碱～。油～。2.后缀，加在名词、动词或形容词之后构成抽象名词或属性词，表示事物的某种性质或性能：党～。纪律～。创造～。适应～。优越～。普遍～。先天～。流行～…见《欧几里得10》…

 

例如：y=x+6在［1，2]上有最小值7，最大值8，所以说它的函数值在7和8之间变化，是有界的，所以具有有界性。

…变、化、变化：见《伽利略10》…

（…《伽利略》：小说名…）

2017-12-10，百度网友bc649d2：有界指的是存在M>0，|f（x）|<M成立。
所以-M<f（x）<M。
因此既有上界，又有下界。

 

……

2020-11-08，网友“菠萝的学堂”发布名为《【极限】第四节 极限运算法则》的文章。（19人赞同了该文章）

…极、限、极限：见《欧几里得218~303》…

…运、算、运算：见《欧几里得121》…

…法、则、法则：见《欧几里得108》…

文章内容：

…内、容、内容：见《欧几里得66》…

 

极限运算法则就像加减乘除四则运算一样，是一种计算规则，那么极限也有属于它自己的一套计算规则。

…计、算、计算：见《欧几里得157》…

…规、则、规则：见《牛顿75》…

 

极限运算法则的常用定理

…定、理、定理：见《欧几里得2》…

 

定理1、两个无穷小的和是无穷小

有限个无穷小之和也是无穷小

…无、穷、无穷，小，无穷小：见《牛顿280》…

…和：见《牛顿35》…

 

定理2、有界函数与无穷小的乘积是无穷小

…有：见《欧几里得25》…

…界：见《欧几里得47》…

 

有界函数（百度百科）：

有界函数是：设f（x）是区间E上的函数，若对于任意的x属于E，存在常数m、M，使得m≤f（x）≤M，则称f（x）是区间E上的有界函数。其中m称为f（x）在区间E上的下界，M称为f（x）在区间E上的上界。

 

等价定义

…定、义、定义：见《欧几里得28》…

 

设f（x）是区间E上的函数。若对于任意属于E的x，存在常数M>0，使得|f（x）|≤M，则称f（x）是区间E上的有界函数。

例：正弦函数sin x 和余弦函数cos x为R上的有界函数，因为对于每个x∈R都有|sin x|≤1和|cos x|≤1

…R：实数（Real number）…

[…Real（英文）：adj.真实的；真正的；真的；实际存在的；非凭空想象的；正宗的；非假冒的；非人工的；确实的。

adv.非常；很。

n.现实；实在；实数…

…number：n.数字；数；数量；编号；序数；（电话、传真等的）号码。

v.标号；给…编号；总计；共计；数以…计；把…算作；（被）归入…]

附：

无界函数（百度百科）：无界函数即不是有界函数的函数。也就是说，函数y=f（x）在定义域上只有上界（或只有下界）；或者既没有上界又没有下界，称y=f（x）在定义域上无界。在定义域无界的函数称为无界函数 。

 

“对于极限的运算，主要就是化简，替换。

请看下集《牛顿307、极限计算规则》”

 

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