数学成考梳理（二），三角，平面解析几何，排列组合概率~
上一篇over了弧度制和角度制，那么接下来，就是函数了
是谁这么天才定义了sin，cos，tan，cot。。。。不过这就不溯源了。。。
直接来，如何将sin函数作图——这里用到了向量，平面几何的时候才把向量给介绍了吧，感觉向量跟三角应该同时教。。。
单位圆中，sin函数就变成了圆周上的点向x轴做垂线，方向是向圆周方向
于是把α从圆周变成x轴，sinα向量顺势展开，就绘制成了sinα函数
而cos函数，则是原点到垂点之间的向量，指向垂点方向
这展开得把x轴拉起来，cosα拍出去
tanα是向量的比——把向量过完了，也没有看到向量这么比，百度确认了，好像是没有意义
不过，还是可以通过垂点到圆周和到原点距离来理解tanα的周期变化，在α为0时0，到α为90°-时无穷大，90°+时负无穷大，到了180°时又到了0
然后就到了三角函数的变换
先从cos（α-β）开始，我想先去复习向量的运算。。。。
首先，两向量垂直，则积为0，不垂直的两向量相乘，对其中一个向量做分解，分解为垂直另一向量和平行的分解，再用分配率，平行基向量相乘=1，模是向量模*cos夹角
。。。ok
所以，cos（α-β）=向量a*向量b，向量起点都是原点，所以就是两点坐标乘积（cosα，sinβ）*（cosβ，sinα），整理下
延展下，求cos和
怎么求sin（α-β）
哎，我苦思了半天，回忆不起来了，还是看笔记吧。。。
我要哭了
sinα和cosα的关系，我只想到了个平方和，直接怎么换根本想不起来
原来是sinα=cos（π/2-α），呜呜呜，这个用单位圆里向量很容易看就是这样的啊
然后推导简直简单QAQ，我保证自己再也不会忘记！在费劲思考了sin减法推导失败之后！！
然后推导tan，ok
倍角公式自己也推导下吧，搞定
最后是解三角形，其实很简单，正弦公式，余弦公式，面积公式，利用直角三角形的正弦计算，勾股定理，和面积公式，比较容易把斜三角形的公式给记住的
终于到了平面解析几何了，想在b站上找crash course这种科普内容，木有找到，所以，带着过往的基础来上了！
我之前有个误区，觉得向量除了模和α之外，应该还有起点，但是，貌似在具体的运算中，都不考虑起点的，所以，其实把向量当成三角形这种来理解，就三角形也不用考虑在坐标系的哪个位置，只用确定三个要素就能定个三角形
而且，在数轴上确定线段，也不用知道起点啊，两个点就行了
想通了
又想到一点，模和α确定向量，这是坐标系的选用，xy坐标系中还是说的有向线段
向量的四则运算，加法减法
向量的分解
向量的坐标运算，这里也是先讲加减，向量的长度，两点距离，中点公式，都简单
向量的积之前理解了，从此不等式判定又多了个三角函数≤1带动的判定法
平面解析几何的第二个部分是，直线
直线的斜率，tan公式，想想之前涉及到的cos差公式用的向量，向量坐标计算里面只有和差积，还是两个向量之间的关系，两点向量表达式讲了距离和中点公式，坐标表达
所以，这斜率的tan公式之前没地方用。。。
直线公式，确定一条直线，需要，两个点，或一个点和斜率——二维的
等下，我要想想，向量是二维的，是一个角度和长度——角度的方向是360°++的，所以能唯一确定，而向量不需要起点确定，可以都搬到原点，这是最简表示法定维度吗。。。还是最简要素定维度。。。
那直线呢，直线的角度。。。180°就行了。。。因为没有方向，但是需要个点，不能都搬到原点，这也是种二维
ok了
所以看直线的五种表示，首先，斜截式和点斜式，都是点斜式啦，轴上的截距，那不就是确定了个点么
所以，截距式和两点式，都是两点式
最后是一般式
ok
现在到了两直线的位置关系了
平行，重合，垂直，相交
相交就是方程有解，垂直是k积为-1
等我再想想垂直，向量积是0，因为cos90°=0
那k呢，tanα*tan（90°-α）=-1，这个用单位圆的正余弦向量很容易理解的啦~~
ok
点到直线的距离，想花点时间推导
刚开始推导的时候，把两个方程都弄成了一般公式，然后求解交点就非常复杂，再带回两点距离公式，那就更复杂了。。。。
真想放弃啊。。。。
后来就开始把方程用y单边，来求方程解，确保方程没写做，还做了点斜式的比例
终于观察到，首先，两点距离公式里面，两个是比例关系的，就可以直接提取出来，当然记得加绝对值
再把（x-x0）设成X，直接求X，就不用再倒来倒去的了，这就是凯子说的，把车里的东西放出来一堆的搬来搬去，还是车直接开到终点再搬东西出来的麻烦度——当然还是打包拯救双手
其实就是两个二元一次方程求解，相当简单，还只用求个X
所以，解题思路虽然很简单的，但是为了计算简便，其实也是要有些总结思路的
还是得建立些公式直觉
终于到圆锥曲线了
首先，关于曲线的交点，跟之前本质一样，解析法看方程组有没有解，图像法看有没有交点
圆，是曲线到定点的距离相等
点到距离公式值是定值，所以圆的方程就很简单啦^_^
点和圆的关系，就看到圆心的距离了，直线和圆的关系，就看圆心到直线的距离了——点到直线距离公式用起来
点到直线的距离，就是垂直的，跟半径垂直，那就是切线了
切线方程的话，推导了一下，点斜式，搞定
椭圆，是到两点的距离和为2a，我来推导下这个公式
计算其实就是二元二次方程的简化，初始条件里面有ac，还有个条件是极值推导出b和ac的关系，然后最终化简只要ab
所以说，还是多路并进的思维没有刻到脑子里，转了几个弯
然后继续使用了代数的代数来简化运算——装车法，避免了四次方。。。。
成功搞出椭圆公式，还是比较开心滴~
椭圆还有第二个定义，也来推导下吧
一个定点和定直线距离比等于常数e∈（0,1），离心率和准线
首先还是把已知的未知的中间量都摆出来
首先是已知一个关系，定点（c,0）和准线方程x=±a²/c，离心率=c/a，先求出坐标轴交点，确定abc关系，然后再把关系式化简，这次还比较简单
双曲线，到两定点的距离差绝对值=2a
首先用代数式把各个已知关系列出来，d1/d2，c²=ab平方和，已知关系式，然后要把c给代换成ab，把关系式整理出来
设个大X=xy平方和，A=ab平方差，B=ab平方和，开始化简公式
就几步就好了~~~
另外一个定义，到定点和准线的距离比例e＞1，在双曲线中，c最大，所以e=c/a＞1的，在椭圆公式中，e＜1，a最大，e=c/a＜1
这里的准线方程也还是x=±a²/c
多了个渐近线，不过也get了，y=±bx/a，推导一遍，印象深刻^_^
抛物线，到一个定点和一个定直线的距离相等
那不就是，这个椭圆和双曲线之间？差别就是e的三种取值，1，＞1，＜1
等我先构思下，首先，这个定点也是焦点，定直线也是准线，我先用上面的方法求一下
c=a=p/2，准线是x=-c，定点是（c,0），很简单求得y²=2px
终于到最后的概率论了
首先，是做一件事是n类方法和还是n个步骤
概率论我一直是有点清楚又糊涂的——大学的时候还学了，高中估计就是糊的。。。
所以很想搞懂的
概率论的本质是事件，所以从事件分类还是分步——分类是逻辑，分步是策略
排列是有序，组合是集合无序
有序，化学实验就是有序的，做饭也是有序的，组合是集合，分类就是无序的
排序呢，如果给m个学生排序，这是分步骤，第一个学生m种选法。。。。最后就是m！
然后来理解下公式的连乘还有阶乘，连乘是列举法，阶乘是函数法？
性质这里来看下，把n挑出来，剩下的做有序排序，理解
所以阶乘公式的性质，就是，总数和元素减一，或者元素减一的公式变换
组合是无序的，无序的特征是，集合的特性，就是不重复
有序的里面把重复的合并，这个怎么思考？就在这m个数之间排序无所谓，有所谓的情况是多少种，然后，感觉应该是减掉吧。。。
百度了下推导方法，其实是逆向思维
上面我也思考了有序里面合并重复的，把m个数重复的减掉
但逆向思维是，选m个的全排列，其实是先选m个的组合，再组合的全排列
于是这个就是分步法，完成一件事，是不同的方法，还是不同的步骤，不同方法后的总方法是相加，不同步骤是步骤分别的方法相乘
这里不是问总方法，而是问结果有多少种
全排列直求，或者先选好组合，再对组合的m个全排列
于是就可以算出组合有多少种
组合的性质里面证的头秃的那个，用全排列推导，失败，然后换成列举法，成功！
就剩最后的概率了
互斥事件和对立事件性质，互斥事件的定义，事件们中有一个发生的概率，等于事件分别单独发生概率的和
先拿特殊的对立事件来看，肯定会发生，就是1
互斥事件其实有点不好理解，不过，先这样吧
我继续去搞ppt了
over~
代数2的数列导数合并了，ok，over~
