复旦大学谢启鸿高等代数每周一题[2021A07]参考解答

2021-11-10 19:35 作者:CharlesMa0606 0人读过 | 我要投稿

本文是本人给出的2021年复旦大学谢启鸿高等代数的每周一题[问题2021A07]的解答

题目来自于复旦大学谢启鸿教授在他的博客提供的每周一题练习

（链接：https://www.cnblogs.com/torsor/p/15329047.html）

本文仅供学习交流，如有错误恳请指正！

[问题2021A07]设 $A%2CB$ 为 $n%5Cleft(n%5Cgeq2%5Cright)$ 阶方阵,满足 $AB%3DBA$ ,证明: $AB%5E%5Cast%3DB%5E%5Cast%20A$ ,其中 $B%5E%5Cast$ 是 $B$ 的伴随阵.

解（解法一，摄动法）

当 $B$ 为非异阵时， $AB%5E%5Cast%20B%3DA%5Cleft%7CB%5Cright%7CI_n%3D%5Cleft%7CB%5Cright%7CA%3DB%5E%5Cast%20BA%3DB%5E%5Cast%20AB$ ,两边消去 $B$ 即得.

当 $B$ 为奇异阵时，考虑矩阵 $%5Cleft(tI_n%2BB%5Cright)$ ，总存在 $%5Cdelta%3E0%2Cs.t.%5Cforall%20t%5Cin%5Cleft(0%2C%5Cdelta%5Cright)%2C%5Cleft(tI_n%2BB%5Cright)$ 为非异阵.并且 $A%5Cleft(tI_n%2BB%5Cright)%3D%5Cleft(tI_n%2BB%5Cright)A$ 仍然成立.

于是我们可以取一列 $t_k%5Crightarrow0$ ，使得 $A%5Cleft(t_kI_n%2BB%5Cright)%5E%5Cast%3D%5Cleft(t_kI_n%2BB%5Cright)%5E%5Cast%20A$ ，注意到 $%5Cleft(t_kI_n%2BB%5Cright)%5E%5Cast$ 的元素是关于 $t_k$ 的多项式，从而对于 $t_k$ 连续，两边取极限即得.

$%5BQ.E.D%5D$

（解法二，利用多项式理论）由高代白皮书例6.61我们可知，存在 $n-1$ 次多项式 $h%5Cleft(B%5Cright)$ ，使得 $B%5E%5Cast%3Dh%5Cleft(B%5Cright)$ ,由 $A%2CB$ 乘法可交换即得 $Ah%5Cleft(B%5Cright)%3Dh%5Cleft(B%5Cright)A$ ,即 $AB%5E%5Cast%3DB%5E%5Cast%20A$ .