量子场论（十二）：洛伦兹群的矢量表示

洛伦兹变换的无穷小参数可以转化为：

其中定义为：

容易看出，它是反对称的：

它的另一种写法是：

这样的话，无穷小洛伦兹变换就是：

与的对易关系为：

即：

可见，满足洛伦兹代数关系，是洛伦兹群的四维矢量表示。因而就是矢量表示的生成元矩阵，作用的对象是洛伦兹矢量。

无穷小洛伦兹变换的矩阵记法为：

它可以看作矩阵级数：

展开到一阶项的结果。矩阵与度规矩阵满足：

即：

从而：

若两个同阶方阵互相对易，即，那么二项式定理是成立的：

把阶乘推广到负整数，对于整数，定义：

从而，对于，有。这样一来，可以把（12.13）右边的级数化为无穷级数：

由此推出：

上式对对易的算符也成立。

由于，根据（12.12）与（12.16），有：

故，即由（12.9）定义的满足保度规条件，确实是洛伦兹变换。此时，变换参数可以不是无穷小，而是一个有限值，所以，

是用洛伦兹群矢量表示生成元表达出来的有限变换。由于变换参数可以连续地变化到，用（12.18）式表达的洛伦兹变换在群空间中与恒等变换相连通，因而它属于固有保时向洛伦兹群。当遍历群空间中所有参数取值时，洛伦兹变换（12.18）遍历所有的固有保时向洛伦兹群元素。