就一抽象导数不等式构造通法证明

(ps:得知此结论的来源:BV1UA4y1f7TZ)

这个结论要证明是很容易的

记

则

∵

∴决定导数正负(即决定g(x)增减)的是

跟已知的式子相同，证毕

不过与证明结论相比，我更好奇结论的出处和来源，于是有了如下的“研究”。

已知

左边有f'(x)，右边有f(x)，考虑构造出导数乘法法则的右边形式

两边同乘一个待定的函数h(x)，且h(x)>0(为了不改变不等号方向)，得：

令

，则原式

∴函数递增

下面解出待定函数h(x)即可

求解这个微分方程

即

分离变量得：

两边积分得：

(ps:不定常数算到左边的积分项)

即

又∵h(x)>0

∴

即需构造的函数为

也同理，把不等号改成<即可

知道了这个公式以及来龙去脉，就可以轻松证明那些“抽象导数构造表”中的所有构造结论了，比如：

例(1):

构造

(ps:至于处理不定常数，由于是一个正的系数，不影响p(x)单调性，所以取p(x)的一个原函数即可)

例(2):

两边同除x得，

(需要化成f'(x)+f(x)p(x)的形式)

构造

但你会发现，上面这两个例子都属于比较简单的了，或者说出题人已经出腻了，这类题总会整出各种各样的式子，下面加大些难度：

例(3):

参考上文的公式推导得：

(ps:实际操作中无需直接记忆这个公式，而是用上面推导过程中的构造思路具体问题具体分析，换句话说就是用题干中具体数据进行一遍上面的推导)

因此我们把左边化成f'(x)+f(x)p(x)的形式，再两边同乘即可

(x>0，可去绝对值)

两边同乘得：

即

则在(0,+∞)递增

如果硬要整一个“构造公式”，那就是：

若，

则递增;

若，

则递增.

但我们已经掌握了核心科技(通法)，就大可不必记忆这些复杂的构造公式了。

下面是实践部分，我们拿非常有难度的一道题来应用这一“核心科技”。

展开移项得：

x>1，则

两边同除得：

求解

裂项得：

x>1，去绝对值

构造

其在(1,+∞)递减

∴

代入已知条件得：

即g(x+3)>2

∵g(x)在(1,+∞)递减,过点(5,2)

∴向左平移3个单位得：

g(x+3)在(-2,+∞)递减,过点(2,2)

∴当-2<x<2时，g(x+3)>2

故原不等式解集为(-2,2)，选D

又到了个人主题升华的片段了[doge]

此类“抽象导数不等式”的题型变化多端，生搬硬套已经开始行不通了。出题人只会越来越“卷”，把题目整得愈加复杂。而对付此类题只有掌握了上述的“核心科技”，才能以不变应万变。

另外，个人认为此类题型是为以后学习微分方程中的“凑积分因子”的方法做衔接做铺垫的，因此适当了解些课外知识拓宽下视野也不见得是什么坏事。

最后，我认为此篇文章能给读者们带来领悟的是此公式的构造过程，这是一个锻炼思维，增强思考能力的一个绝佳的机会。有句话很佳，大概是这么说的：数学家们的使命就是从繁杂的事实中归纳出优雅的共性。而这也是科学的魅力所在！

虽然我们都在走着先人开下的路，我们或许也无法做到像先人一样开路。但我们仍可以仿照先人开路，比如：凭一己之力推出一个二级结论。只有勤加思考，懂得领悟，才是学习的真谛。