本科数学抽象代数的核心难点汇总：群在集合上的作用

2023-07-28 14:16 作者:南海之声sonnet耳放 0人读过 | 我要投稿

集合 $S$ 被群 $G$ 作用，自然就会被分裂成轨道，所以来记录轨道的长度和轨道的条数就很有意思了，利用这个技巧就可以进一步搞清楚群的结构。 $a$ 元素所代表的轨道 $%5Ba%5D$ ，对应的不动子群 $G_a$ ，有轨道公式： $%7CG%7C%3D%7C%5Ba%5D%7C%7CG_a%7C$ ,这是因为轨道上的元素刚好对应了 $G_a$ 的那些陪集。利用群在群自身上的各种作用可以导出许多结论，这是群论中经常出题考察的。一个有趣的例子就是互易定理，集合 $S$ 被群 $G$ 作用， $f_g$ 表示 $g$ 的不动点个数，证明如下的互易定理： $%5Csum_%7Bg%5Cin%20G%7Df_g%3D%7CG%7C*%E8%BD%A8%E9%81%93%E6%9D%A1%E6%95%B0$ ，遇到这种题其实就是要进行计数了，也就是集合 $S%5Ctimes%20G%20$ 的子集 $(x%2Cg)%3Agx%3Dx$ .你从 $G$ 这边开始数就是等式的左边，现在从集合 $S$ 开始数就是，