Reed-Muller 码--第四种构造方法-多重线性多项式

这篇文章介绍 Reed-Muller 码的第四种构造方法，通过多重线性多项式来计算输出的比特（符号）。

录制的视频在：https://www.bilibili.com/video/BV1LM411P7dc/

 Reed-Muller 码是记为 R(r,m)，则这个方法为：

1. 先构造一个生成多项式
2. 把多项式中的变量，代入所有的组合，得到的结果排成向量，就是输出的结果。

下面我们详细来说明一下：

R(r,m)在输入的序列为 C 的情况下，对应的生成多项式为：

其中 C 是一个长度为 k  的序列，即输入序列的长度，在前面文章中多次提到：

需要详细解释一下公式 (1) 中  的含义：

s 是集合 的子集，且满足 s 中含有的元素的数量不超过 r.

例如 m=3，则 s 有如下情况：

把公式 (3)  中的 7个集合，编个序号，从 0 开始依次分配序号：0,1,2,3,4,5,6，则用这个序号的在序列 C 中找对应的位，就是


下面我们用 R(2,4) 为例子进行说明公式 (1)，假如输入的序列为  C=1  1010  010101  总共 11 个比特。

则 s 有如下情况：

对公式 (4) 从上到下依次给连续的序号，从 0 开始，则：

当   时：


当    时：
当   时：
当 时：
当   时：
当 时：
当   时：

当   时：

当   时：

当   时：

当 时：

把公式 (6) 到 (16)  求和，就是公式 (1) 的结果：

把 C=1  1010  010101 代入 (17) 有：

然后把 取遍所有的值，通过 (18) 计算出来 16  个结果，就是编码后的结果:

所以输出的序列为  1101  1110  0001  0010.