对一抛体运动射程问题及相关结论的研究

题目：在一高度为h的台上抛出一个物体(视为质点)，不考虑空气阻力，求落到地面时的最远射程？

原视频：BV16V4y1J7Ho

该视频精华即运用了参考系变换来求解，体现了多角度思考分析问题的重要性，下面再分享几种个人所想的门槛较低些的方法。

法一：利用函数思想

设初速度大小为v₀，抛射角为θ,θ∈[-π/2,3π/2](这样就可以描述所有的情况了)

则抛体运动参数方程为：

其中t为参数且t≥0

令y=0，即

用求根公式解关于t的一元二次方程得：

舍去负根，得落地时间为：

此时

这时就得出射程x与抛射角θ的关系式，利用函数思想，求取最大值即可

由于左右两侧对称，所以只需研究θ∈[-π/2,π/2]的情况即可

这时就头一次铁了，求导暴算

令其=0求出极值点

(这个运算写了将近一页草稿纸，由于文章有图片数限制所以就省去了)

整理得：

解得：

即当时取得最大射程

下面有个相对简单但门槛高一些的方法

法二：求运动曲线族的包络线

运动参数方程：

上式化为代入下式消去参数t得直角坐标方程：

这时视抛射角θ为参数对其求偏导得：

令其=0，解得：

其中，

将其代入原方程即可得包络线方程：

令y=0，解得：

此时抛射角

ps:有关求该包络线的方法有更低门槛的理解方法，有关内容的文章链接在评论区置顶处

另外，视频中所提及的结论也可以用参数方程的知识证明

抛体运动参数方程为：

在初速度相同时，往各个方向抛出质点，取一特定的时间t(控制t不变)，让θ取遍[-π/2,3π/2]的所有数，每一个θ对应此时刻的一个点，这些点就构成了所求的曲线

因此上述方程可视为关于θ的参数方程，由形式即可得出其为一个圆

(ps:注意标红部分的重点，这时控制t不变意思就是取定一个t研究此时刻下相同初速度沿不同方向抛出的质点的分布，因此θ视为参变量)

对比圆的参数方程可得：

半径为，圆心为

计算机模拟的参考图如下：

拓展到空间中，我们可视x-O-y为水平面，在z-O-x平面上研究上述问题，再将曲线绕z轴旋转1周即可得到空间中的所有情况，因此在空间中同一时刻质点所排列的就是一个球

半径为，球心为

计算机模拟的参考图如下：