【Aegisub】匀速化一般参数曲线现有的最佳方案

        简单说一下现有方案中，在精确性、快速性、灵活性、方便性上全都最好的匀速化参数曲线的方法。

        先看一些对比举例：

左边是kyanko前辈的匀速贝塞尔曲线，右边是我匀速贝塞尔曲线的效果。可以看到kyanko前辈匀速曲线的准确度不够好，在该例中，并不是kyanko前辈的求积分求长度不够精确导致的，而是牛顿迭代不准确导致的，牛顿法本来就不太好使，也就是说，就算其它部分的代码不变、只改变迭代算法，这里的曲线一样能被很好地匀速化。下面这4张对比图都是同样的情况(仅因为牛顿法不咋地而导致匀速效果不准确，左边是kyanko前辈的，右边是我的效果)：

然后对于一般的参数曲线，kyanko前辈在求长度的时候有利用周期性来分段求值，但是，没有周期的振荡曲线当然多得数不过来，比如：

上图是用我的函数匀速化该曲线后的样子，可见匀速的效果非常好。那这样的振荡曲线，如果用kyanko前辈的思路，自然在求积分的时候会有很大误差。再比如，就算函数有周期，利用周期性来求也不见得计算有多正确，比如这样的振荡曲线：

上图还是用我的函数将该曲线匀速化后的样子，可见效果非常精准。而如果用kyanko前辈的方法，这函数虽然有周期，但按周期来算，也会有很大误差，更别说还需要使用者自己去计算不同函数的周期，所以，这在准确性和便利性上都不太好。

        说完了精确度的问题，然后是灵活性和便利性的问题。kyanko前辈的匀速一般曲线，需要使用者自己去计算导数，所以使用者每次想要匀速某个曲线时，就要自行求导，这怎么想都非常地不方便，而我写的函数，可以支持使用者不自行求导，就是说，使用者如果自己愿意求导，那可以传入使用者求出的导数，使用者若懒得求导，那就算不人为地提供导数，一样能做匀速曲线效果，这样，在灵活性和便利性上都大大的提高了。

        最后就是代码速度的问题了。下图标红的是kyanko前辈的耗时，标白的是我的耗时：

可见我的代码在速度上也是更快的，就比如匀速贝塞尔曲线，我的函数速度一般比kyanko前辈的快了约一倍，也就是说，在精度速度灵活度便利度，每一个方面，我现有的方案都是最佳的。

        简单的介绍一下我采用的方案。在求数值积分上，我测试了很多方法，比如修改优化后的双指数方法，虽然这种方法精确度不错，但速度十分缓慢，因为需要循环很多次，不管是在提前准备好节点的情况下，还是不提前生成节点的情况下，都十分的缓慢，所以就无所谓是否提前生成节点了，所以自然不能用这种方法来实现匀速曲线效果。那其它方法怎样呢，比如自适应Gauss–Kronrod积分，也就是算积分的同时也有误差估计，根据估计的误差来分段，每一次将误差最大的段平分，然后计算积分以及估计误差，直到每一段估计误差加起来小于你设定的容忍值为止，这种方法虽然得到的结果比不用误差估计的Gauss–Kronrod方法要精确，但速度肯定是慢的，尤其是，如果要做匀速曲线，就得不停地求积分，耗时并不会乐观，所以这种自适应积分也是不能用。那这么说来，实际就不可能有又快又高精度的数值积分方法了，那确实，是这样的，没错的。但这里有个问题啊，先清醒一下啊！做匀速曲线的原理我在视频里老早就讲过，由于咱们等间隔的取时间参数t，采得曲线上的点并不是等间隔的，所以咱们需要弧长参数s，当我们等间隔地取弧长参数s(如0 , 0.1 , 0.2 , 0.3)时，得到的曲线上的点也会是均匀的，所以重点就是怎样实现弧长参数化。这很简单，首先要求得曲线的总长度L，对吧，这时咱们要均匀采样就能得到匀速的点了(如取0*L , 0.1*L , 0.2*L , 0.3*L)，也就是咱们要求得在长度为 s*L 时，点的坐标，所以只要求得在长度为 s*L 处的时间参数t，就能将t代入曲线方程，就直接有点坐标了。所以，现在只有两个问题，一是求曲线总长度，二是根据指定长度求此处的时间参数t，求长度需要数值积分，求t需要反复迭代，所以呢，在求t的过程中是会反复用到"求长度"的函数的，什么意思，就是说假设你希望均匀地取1000个曲线上的点，每取一次就要求t，每求一次t就要反复使用"求长度"函数，来1000次爽不爽啊，问题在哪，在求长度啊，很清晰吧，求一回长度，是不需要用更高精度的积分的，只要分段就行了，直接用Gauss–Kronrod积分就行了啊，总想着怎么高精度地求长度很耗时，不如直接分段啊，分段以后，每一段的求长度求积分是精确的(足够)，迭代求t的时候，在这一段上找解不就完了，这好家伙，不是又快又精确吗？分明是一个很简单的问题，而如果总是纠结于高精度数值积分，那思维就完全被限制住了。

        分段的话，kyanko前辈是有分的，那为什么kyanko前辈的函数这么慢呢，这是因为在每一次求长度时，都分成很多段来计算，可问题是，分段，只需要分一次，不需要次次分！次次分，只会又连累速度又连累精确度！一条曲线就是分成64段又如何，只分一次，又快又准，而如果次次分，一条曲线总共只分5段又如何，次次分，又慢又不准！分段，只分一次，每一小段的长度是精确计算的(足够)，每一段的长度是已知的，这样，指定长度处的点，落在哪一段上也是已知的，这很清晰，在这一段上找t，自然是精确的，这很简单！

        当然除了这些，刚刚也讲了，我用了其它迭代算法、比牛顿法更精准，同时还提供了数值求导。还有就是，很早以前我提过，kyanko前辈计算的切线角度明显是有错误的，在y=0时，有0和π两种可能，kyanko前辈求的角度在y=0时只能得到0，其实，有一个函数，名叫，math.atan2，是的没错，大家可以在aeg里使用这个函数，对，是这样，自己写不写这函数都无所谓，但若写错了就不是无所谓了。math.atan2函数和math.atan不同，math.atan2返回值的范围，要猜猜，那当然是-π到π了，能覆盖整个平面直角坐标系，求角度直接用math.atan2即可。

        最后，具体的代码照旧在视频里介绍。