用数学语言简单勾勒马克思的社会总资本再生产理论——数理政治经济学导引
本专栏希望读者至少学过马原这门本科必修课，还记得高中数学。另外，这只是一篇导引，抛砖引玉罢了，因此本人拒绝原教旨主义式辩经。
马克思的社会总资本再生产理论主要见于《资本论》第二卷，其背后的数学模型框架可谓呼之欲出，但或许是或许是由于种种原因，马克思一直都是在用具体数值举例，如非实在必要，绝不会写什么代数式。现在，《马克思主义基本原理概论》（即上文的“马原”）的教材似乎也不怎么提，毕竟对于大多数人来说，《资本论》第一卷的内容要重要得多。而专业教材，要么如高教版的《政治经济学》（第五版），对此惜墨如金；要么如徐禾等编的《政治经济学概论》，沿用马克思的方式，用具体数字来说明理论的运行过程。
而与此同时，如今的马克思政治经济学数理化进程也在稳步地向前发展。在上世纪各种论争下，马克思经济理论的数理模型逐渐得到发展与改进，其形式与内容也变得愈发艰深。虽然现在估计已经没几个人知道，但当时，即后来写《经济学》写到19版的萨缪尔森，也曾来此搅过浑水带过节奏参与过讨论。当然，现在的话，可能连知道萨缪尔森及其经济学地位的人都没多少吧。
于是，理论前沿这边，数理模型的补丁打得飞起（还都不一定能相互兼容）；基础教育这边，连数学建模的影子都还没有。两者之间的空缺越拉越大，马克思政治经济学数理化的这一进路也越来越让人难以接近。更何况，“马克思政治经济学数理化”这件事本身，在大环境下，冷门得就如同在文科生里挑人考理科一样令人不可思议，“庸俗化”、“歪曲化”的原教旨主义式批判更是不绝于耳。这也是为什么开头就说“拒绝辩经”的原因。如有觉得不合适的地方，各位自行辩证看待并批判吸收就好。
但即便如此，总是要有人来架一根桥的，哪怕它就是一根独木，还容易让人摔下万丈深渊。我只能说尽我最大的努力来引导、普及了，不足之处自然是很多的，但这些东西只能靠有能大佬们去进一步地解决了。
以上就算是前言吧。一没忍住就絮絮叨叨了这么多的废话了。
这个模型尽可能按照马克思《资本论》第二卷里原有的具体例子来构建，但会有所简化，自己编的，不加补丁，也不会过多解释漏洞，毕竟这主要还是用来抛砖引玉的，为了让更多人能往这个方向思考。
先说一下基本的特殊处理吧。
首先，由于这是个“再生产”过程，涉及到资本周转与多期的问题，所以这里主要的工具是数列。这里不考虑固定资本的问题。当然，现在很多模型都直接连续化然后求导了，比如张宇等编的《高级政治经济学》，它就是按照这种思路来处理的。但这种思路不容易和原有的具体例子衔接上，而很多人可能都是顺着具体例子的思路了解再生产理论的。为了照顾到读者思维的连贯性，这里便用数列作为基本的数学工具。
其次，不考虑货币资本的转化与流通问题，简单理解成单纯的实物交换。马克思在《资本论》第二卷中，花了相当多的篇幅来论述，在社会再生产过程中，货币资本的这些问题。而这些描述，固然都非常重要，但对于理解再生产理论来说，并不是非常必要的，甚至很可能会将初学者绕晕。因此，在这里将其数理化的话，还是比较费力不讨好的。
最后，在形式上区分生产前资本（即“成本”）与生产后资本（即“产品”）。这主要是为了让读者更清晰地认识到剩余价值的产生来源，以及更好地理解资本流转的基本流程。
比较特殊的地方基本就是这几点了， 如果还有的话到时再补充说明。
在时期（或称周期）t ：
首先是生产前：
这其中，I、II 分别表示第一部类和第二部类（具体含义后面再解释一遍），c、v 则分别表示不变资本（即生产资料）与可变资本（即劳动力），它们的下脚标 t 则表示它们都是在时期 t 时所对应的量。比如 Ic_t 就表示在时期 t 时，第一部类的不变资本量，即此时第一部类的生产资料所对应的价值总量；IIv_t 则表示在时期 t 时，第二部类的可变资本量，即此时第一部类工人们的劳动工资所对应的价值总量。
然后是生产后：
这里的上角标意味着，上面这些量所对应的，都是产品中的价值量。这其中，(I、II)m_t 就是完全由可变资本（劳动力）所创造出来的剩余价值。需要注意的是，Ic_t、IIv_t与I'c_t、II'v_t在物质形态上虽然可能已经无法准确地一一对应了，但它们所对应的劳动价值量相等。也就是说，生产后的这个等式组，只是关于产品进行的一个人为划分，以便让原来的各价值量在生产后也能有所对应。
于是有一个表示价值转移去向的附加等式组：
另外，这种划分除了标记出它们各自的价值来源外，也在一定程度上标志着它们所对应价值的预定去向。比如I'v_t，它不仅价值量与Iv_t是相对应，还是预定在下次生产时支付的劳动工资总量。当然，这些“预定工资”，必须要在将这批新生产出来的生产资料（因为是第一部类），进行部类间交换，即换成价值量对应的消费资料后，才能真正地变成工资的形式，从而付给工人（即劳动力）们。
之所以强调预定，是因为还要考虑到，部类间交换时可能出现的多种情况，以及资本家们的想法。为了完成部门间交换，资本家们可能不得不重新调整之前预定好用途的c、v、m。此外，资本家们对剩余价值的处理也是需要好好考虑的。
此时，再引入几个重要概念的定义：
这其中，c_v、m_v和 r 分别对应的是马克思所说的资本有机构成、剩余价值率和利润率。这三个量视为模型的外生变量，暂时认为不变（因此也都没有标记下脚标 t ）。为了简洁，这三个参数在两部类间都对应相等，因此对于所对应的部类也不特别区分。
这其中，利润率的对应相等有着重要的理论意义。它意味着利润率的平均化，利润转化为了平均利润，一般利润率已经形成。
以上就是关于生产过程的描绘了。
下面就是最后，也是最为关键的一个等式组了，同时也是一个递推公式组，因为它是关于资本流通过程的描绘：
如果完全按照例子来建模的话，这里面的待定内容大约只有两种情况。但马克思在例子之外，还详细说明了不同于例子的其他几种情况，这些内容也是比较必要的，因此部分内容待定，等分析具体情况时再一一确定下来。至于已经确定的部分，后面会有解释，主要和“相对过剩人口”的存在有关。
在进一步的具体分析前，先简单说一下交换的过程。
第一部类是专门生产全社会所需生产资料的部门。第一部类中，I'c_t 这部分新生产出来的生产资料，预定在进行部类内交换后，填补生产过程中造成的生产资料 Ic_t 的消耗，从而为下一期生产做好准备。而剩下的 I'(v_t+m_t) 这部分新生产出来的生产资料，则预定在与第二部类交换变成消费资料后，分别拿来给劳动力们发劳动工资和供资本家自己使用。
第二部类是专门生产全社会所需消费资料的部门。第二部类中，II'c_t 这部分新生产出来的消费资料，预定在与第二部类交换变成消费资料后，填补生产过程中造成的生产资料IIc_t的消耗，从而为下一期生产做好准备。而剩下的 I'(v_t+m_t) 这部分新生产出来的消费资料，则预定在进行部类内交换后，分别拿来给劳动力们发劳动工资和供资本家自己使用。
因此，这里至关重要的，是部类间交换，即 I'(v_t+m_t) 与 II'c_t 之间的关系。
如果两者刚好相等，则为马克思所提的简单再生产。整个社会年复一年地重复着同样的事情，无论是社会总资本量，还是各部类间的对应量，都没有发生过任何变化。当然，马克思还有说过不相等的各种情况，但一般都被各类教材选择性省略了。但此时，模型的严谨性要求这些情况必须一一讨论。
在进一步讨论之前，再说明一下各个量决定的优先级。
首先是部类间交换的完成绝对优先于其他决定。第一部类如果没有部类间交换，消费资料都没有，第一部类的所有人那不得活活饿死？第二部类如果没有部类间交换，生产资料都没有，那在下一期，第二部类的所有人不也得活活饿死？而其他部分的预定量，则视部类间交换的情况来相应调整。
然后是同一部类间的下次生产决定。由于资本有机构成 c_v 不变，c 和 v 只要决定出其中一种的量，另一种的量也就相应确定了。因为考虑到“相对过剩人口”的存在，这里假设可变资本 v 的决定服从于不变资本 c 的决定。换句话说，此时，劳动力（即可变资本），以及没能成为劳动力的失业人口，在大街上一抓一大把。在这种情况下，比起生产资料（即不变资本），劳动力自然要“贱”得多了。
至此，对上面那个等式组，即等式组（5）的说明，就基本解释完了。
再进一步分析之前，先给出下面这一个示意图，以便读者能理清这几个等式组的关系，以及整个模型大致的框架与运行流程。
梳理清楚后，现在再继续对等式组（5）进行进一步的分情况讨论。
为简洁起见，下面均不考虑克扣工资的情况。
先只考虑资本家只会将剩余价值拿来消费的情况：
此时即上面提到的“简单再生产”。虽然存在着剥削，但人们的生活仿佛一成不变。
此时第一部类预定拿来部类间交换的生产资料相对过多，交换很难使得双方都满意。此时至少需要有一方资本家对预定作出调整：
此时，第二部类的资本家可以通过减少当期的剩余价值消费来完成部类间交换。需要注意的是，此时由于 IIc_{t+1}>IIc_{t} ，即下一期中第二部类的不变资本增加，I'(v+m) 与 II'c 之间的差距将会得到弥补，从而回到（5.1）的“简单再生产”模式。但此时，第一部类的资本家不能将多余部分的生产资料挪去参与下次生产，即加入到 Ic_{t+1}，因为这样只会使得差距越拉越大，从而使得经济体系崩溃。
此时，第二部类的资本家已经无法通过减少消费来弥补空缺了。于是第一部类资本家只好将此次的多余部分生产资料舍弃，且减少下一期中对生产资料（即不变资本）的投入，并相应地减少对劳动力（即可变资本）的投入。之后同样将回到（5.1）的“简单再生产”模式。只是此时，“相对过剩人口”进一步增多，生产资料出现浪费现象。此时可能会有人问：“生产资料有这么多过剩到没人要的，失业人口也这么多，那这些人为什么不自己办厂创业呢？”当然，不要问我，我是不知道该怎么回答的。
此时第二部类预定拿来部类间交换的消费资料相对过多，交换很难使得双方都满意。此时至少需要有一方资本家对预定作出调整。但因为过剩的是消费资料，所以处理办法很简单：多余部分全部用于第二部类资本家自己消费。此时，第一部类的资本家不能将预定参与下次生产的部分拿来填补这次交换的空缺，因为这样只会使得差距越拉越大，从而使得经济体系崩溃。
有一定可能会出现一种特殊情况：在这一期内，第二部类资本家对多余部分的消费已经超出自己的消费限度了。比如牛奶，毕竟不是每个人想喝多少喝多少的。但此时，超出额度的这部分消费资料已经卖不出去了。于是第二部类资本家只好将此次超出额度的多余部分消费资料舍弃，同时减少下一期中对生产资料（即不变资本）的投入，并相应地减少对劳动力（即可变资本）的投入。之后同样将回到（5.1）的“简单再生产”模式。只是此时，“相对过剩人口”进一步增多，消费资料出现浪费现象。此时可能会有人问：“牛奶都多到让往河里倒了，为什么还有这么多人吃不上饭呢？”当然，不要问我，我是不知道该怎么回答的。
以上就是资本家只会将剩余价值拿来消费时，主要情况的相关讨论与基本结论。
下面开始讨论，资本家会将剩余资本用来投入再生产，即用来购买追加不变资本以及相应的可变资本（进行扩大再生产）时，社会总资本的运行情况。
为简单起见，默认有：
这个设定类似于（5.1）。这其中，Δc_t、Δv_t 为各部类的资本家对应的追加不变资本量与追加可变资本量。显然，它们也服从资本有机构成 c_v 所带来的限制关系。
这个式子的含义是：两部类的资本家，在自己的剩余价值中，划分好预定的追加投资部分与自己消费部分后，各自预定的部类间交换量刚好相等。
如果在这种情况下，各自预定的部类间交换量不相等呢？那就可以参考之前关于（5.2）和（5.3）情况的分析了。
在《资本论》第二卷的例子中，马克思看重的是两部类的总资本量 I_t、II_t 以及社会总资本量I_t+II_t 的变化。
记：
其中0<δ<1称为剩余价值的积累率。
于是结合（1）（2）（3）（4）（5）（5.4.0.1）（5.4.0.2）可得：
这其中，δ_I、δ_II 分别代表第一、第二部类资本家的剩余价值积累率。
这组递推公式（或差分方程）如果看起来没什么感觉的话，可以再进一步求出数列的通项公式来更真切地感受一下：
这其中，I_0、II_0 分别对应第一、第二部类资本家的初始资本量，即资本原始积累时期所获得的资本量。显然，I_t、II_t 均为首项为正数、公比大于1的等比数列。
也就是说，第一、第二部类各自的总资本量，随着时间的推移，呈指数级别的“爆炸式”增长。社会总资本量虽然不能说是标准的指数增长，但其增长速度，显而易见，是与两部类各自总资本量增长同一级别的。
此外，可以看到，第一、第二部类以及社会中总的资本量，与相应的剩余价值积累率和利润率均是同向变动的。这也叫意味着，资本家要是想在此基础上再获得更多的资本量，则要想办法提高对应的剩余价值积累率和利润率。
以上就是资本家会将部分剩余价值进一步转化为资本时，即出现资本积累时，模型的基本结论。
下面考虑（4）中那几个基本参数，尤其是利润率的变化所可能带来的影响。
由（4）可知，利润率的变化情况，取决于资本有机构成与剩余价值率的变化情况。
首先是剩余价值率的变化情况。马克思在讨论剩余价值率时，没有过多涉及到它的变化趋势。
然后是资本有机构成的变化情况。根据马克思在《资本论》第一卷的论述，资本有机构成会随着资本的不断积累而逐渐增加。
因此，我们可以得到《资本论》第三卷里一个重要论断：利润率趋向下降的规律。当然，马克思也只是强调这只是一种趋势，而不是必然的下降。毕竟，即使光从这个模型中来看，阻碍下降的因素首先就包括了剩余价值率，即劳动剥削程度的提高。此外，不变资本要素价格、“相对过剩人口”的存在乃至对外贸易的情况，等等，都会对这种下降趋势形成阻碍。
当然，在上个世纪，这条规律也是一个争论的焦点。这里先不过多讨论这方面的问题，先默认它的存在，且这种下降的趋势确实是一种必然规律。
这种下降会导致怎样的情况呢？这里不妨举一个极端的例子：
其中，Ic_v、IIc_v分别为第一、第二部类的资本有机构成，它们随时间而逐渐增长。
如果知道自然常数e的由来与定义，就会发现，此时，在任何一个周期内，第一、第二部类以及社会中总的资本量都会存在一个不断接近却永远也够不到的上限。而这个上限恰好等于它们各自初始量的e倍。如果有一点数学分析基础的话，你还可以更精确地证明这个上限是它们的上确界，即一种“刚好够不着的上限”（有些上确界够得着的，但这里够不着）。有兴趣的读者可以自行思考证明。
而为了抵消这种趋势，资本家自然要想尽一切办法来对抗它。当然，最直接的办法就是提高劳动剥削程度了。但现在的话，这也是最容易遭到反对的办法了。至于其他的办法，也许有，也许争议也很多，但不要问我，我啥都不知道。
以上就是资本家会将部分剩余价值进一步转化为资本时，即出现资本积累时，主要情况的相关讨论。
至此，这篇专栏所主要想讨论的内容，也都讨论完毕了。
如果读者看到这里还有兴趣继续下去，那就可以去看相关的论文了。不过在看论文前，推荐先阅读斯拉法的《用商品生产商品》，商务印书馆有出过中文版，总共也就一百页左右，而且阅读的难度还是比《资本论》小一些的。看完这本书，你就会知道这个导引模型有多么的粗糙甚至于不堪入目了，当然这也和马克思没来得及完善《资本论》的第二、三卷有关。因此，这个模型也仅能作为一种导引来使用了。
推荐先读这本书的另一个理由是，它是上个世纪，也许能包括这个世纪的前几年，在马克思政治经济学数理化进路中，一个至关重要的模型，一本不能轻易绕过去的书。
还有一本就是M.C.霍华德与J.E.金写的《马克思主义经济学史》。
当然，能坚持看到这里的读者都估计没几个就是了。
匆匆而就，难免错漏，还望读者们能多多包涵。
