【阅前提示】本篇出自『数理化自学丛书6677版』，此版丛书是“数理化自学丛书编委会”于1963-1966年陆续出版，并于1977年正式再版的基础自学教材，本系列丛书共包含17本，层次大致相当于如今的初高中水平，其最大特点就是可用于“自学”。当然由于本书是大半个世纪前的教材，很多概念已经与如今迥异，因此不建议零基础学生直接拿来自学。不过这套丛书却很适合像我这样已接受过基础教育但却很不扎实的学酥重新自修以查漏补缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我写的注解。

【山话嵓语】我在原有“自学丛书”系列17册的基础上又添加了1册八五人教甲种本《微积分初步》，原因有二：一则，我是双鱼座，有一定程度的偶双症，但“自学丛书”系列中代数4册、几何5册实在令我刺挠，因此就需要加入一本代数，使两边能够对偶平衡；二则，我认为《微积分初步》这本书对“准大学生”很重要，以我的惨痛教训为例，大一高数第一堂课，我是直接蒙圈，学了个寂寞。另外大学物理的前置条件是必须有基础微积分知识，因此我所读院校的大学物理课是推迟开课；而比较生猛的大学则是直接开课，然后在绪论课中猛灌基础高数（例如田光善舒幼生老师的力学课）。我选择在“自学丛书”17本的基础上添加这本《微积分初步》，就是希望小伙伴升大学前可以看看，不至于像我当年那样被高数打了个措手不及。

第一章一元一次方程和可以化为一元一次方程的分式方程  

§1-7分式方程

1、分式方程的意义

【01】我们来看下面这个问题：某人民公社生产队收割全部夏收作物，共需要 12 天。由于学生下乡参加夏收，和社员一起劳动，结果只用了 8 天全部收割完毕。问学生单独去完成这项夏收任务需要几天？

【02】设学生单独劳动需要 x 天才能完成，那末每天能完成全部任务的 1/x  。

【03】社员单独劳动需要 12 天，所以每天能完成任务的 1/12  。

【04】现在学生和社员一起劳动只需 8 天，所以每天能完成任务的是 1/8  。

【05】根据题意，可以列出方程：  。

【06】这个方程，分母中含有未知数，和我们前面所学过的方程不同。

【07】分母中合有未知数的方程，叫做分式方程，例如，，， 等都是分式方程。

2、可以化为一元一次方程来解的分式方程的解法

【08】有些分式方程，只要把方程的两边都乘以同一个含有未知数的整式，就能变形成为一个一元一次方程，然后解这个一元一次方程，就可以找到原来分式方程的解。下面我们举例来说明。

例1.解上面问题中的方程：  。

【解】因为各分式的最简公分母是 24x，所以方程两边都乘以 24x，使它变形成为整式方程，得 24＋2x＝3x  。

        解这个整式方程，－x＝－24，∴ x＝24  。

【检验】把 x＝24 代入原方程：，∴ x＝24 是原方程的根。

【说明】检验时，必须把求得的 x 的值代入原分式方程，不能代入变形后所得的整式方程。

例2.解下列方程：  。

【解】方程两边都乘以 (x－1)(x＋3)，得 5(x＋3)＝x－1  。

        解这个方程，5x＋15＝x－1，4x＝－16，∴ x＝－4  。

【检验】把 x＝－4 代入原方程：  ∵  左边＝右边，∴ x＝－4 是原方程的根。

习题1-7(1)

解下列各方程：

【1、1又3/5，2、3/5，3、5，4、－3,5、5，6、10，7、－4，8、2，9、1，10、1】

例3.解下列方程：

【解】

(1) 方程两边都乘以 x－3，得 1＋2(x－3)＝7－x  。

        解这个方程，3x＝12，∴ x＝4  。

【检验】把 x＝4 代入原方程：  。∵ 左边＝右边，∴ x＝4是原方程的根。

(2) 方程两边都乘以 x－3，得 1＋2(x－3)＝4－x  。

        解这个方程，得 x＝3  。

        如果把 x＝3 代入原方程，分式 1/(x－3) 和 (4－x)/(x－3) 的分母都等于零，这些分式就没有意义，所以 x＝3 不是原方程的根，也就是说，原方程没有根。

【09】这是怎么一回事呢？难道我们的解法有错误吗？不，解法没有错误。下面就来研究这个问题。

【10】我们把 (1)、(2) 两题来对比一下，在第(1)题中，把 x＝4 代入变形后的方程 1＋2(x－3)＝7－x，两边是相等的；把 x＝4 代入原方程中，两边也是相等的。因此，x＝4 既是原方程的根，也是变形后的方程的根。但是在第 (2) 题中，把 x＝3 代入变形后的方程 1＋2(x－3)＝4－x，两边是相等的，所以 x＝3 是变形后的方程的根。而把 x＝3 代入原方程，分式就没有意义，所以 x＝3 不是原方程的根。这个事实告诉我们，方程的两边都乘以同一个含有未知数的整式，有时所得的整式方程的根就是原方程的根，而有时所得的根却不是原方程的根。

【11】这种解变形后的方程得出来的不适合于原方程的根，叫做增根。

【12】为什么会产生增根呢？先来看第(1)题。在去分母的时候，我们是用整式 x－3 去乘原方程的两边。因为在 x＝4 的时候，整式 x－3 不等于零，也就是说，我们只是用不等于零的同一个数去乘方程的两边，根据方程的第二个基本性质，所得的方程和原方程是同解方程，所以所得的方程的根和原方程的根完全一样。但是，在第(2)题中，我们用来乘原方程两边的，虽然也是整式如 x－3，但由于当 x＝3 时，x－3＝0，所以实际上是用 0 去乘原方程的两边，因此，变形后的方程和原方程的根就不一样。x－3 只是变形后的方程的根，不是原方程的根，这样就产生了增根。

【13】从上面所说的，我们可以看到：

【14】如果方程的两边都乘以同一个整式，就可能产生增根。

【15】因此，在解分式方程的时候，我们必须把解变形后的方程所得的根代入原方程，进行检验。如果适合的，才是原方程的根；如果不适合的，就是增根，应该把它去掉。

【16】从上面所说的可以知道，凡是把求得的根代入原方程时，使分式的分母等于零的，这个根就是增根。因此，检验时为了简便起见，也可以把求得的根代入方程两边所乘的整式中去检验：只要在解的过程中不发生错误，那末如果它的值不是零，所得的根，就是原方程的根；如果它的值等于零，所得的根，就是增根。

例4.解方程：  。

【解】因为各分式的最简公分母是 1－x²，所以方程的两边都乘以 1－x²，得 1＝3(1＋x)－5(1－x)  。

        解这个方程，1＝3＋3x－5＋5x，－8x＝－3，∴ x＝3/8  。

        因为把 x＝3/8 代入整式 1－x²，所得的做不等于零，所以 x＝3/8 是原方程的根。

【17】从上面三个例子可以得到解分式方程的一般步骤：

        (ⅰ) 用一个适当的整式（通常取各分式的最简公分母）乘方程的两边，使它变形成为一个整式方程。

        (ⅱ) 解所得的整式方程。

        (ⅲ) 把所求得的根进行检验。如果适合的，就是原方程的根；如果不适合，就是增根，应该去掉。

例5.解方程：  。

【解】两边都乘以分式的最简公分母 x(x－1)，得 3(x－1)＋6x－(x＋5)＝0  。

        解这个整式方程，8x－8＝0，∴ x＝1  。

【检验】把 x＝1 代入 x(x－1)，它的值等于 0，所以 x＝1 不是原方程的根。

        ∴ 原方程没有根。

例6.解方程  。

【解】两边都乘以 x－3，得 x－3＋5＝x＋4，就是 0·x＝2  。

        因为不论 x 是任何值，都不能使方程 0·x＝2 成立，所以原方程没有根。

习题1-7(2)

解下列各方程(1~11)：

[提示：第4题到第11题中，先要把分母分解因式，再求出分式的最简公分母。如第11题中，x³－x²－x＋1＝x²(x－1)－(x－1)＝(x－1)(x²－1)＝(x－1)²(x＋1).。

【1、无解，2、无解，3、无解，4、1又5/7，5、－1，6、－3，7、－3/7，8、8，9、5/6，10、2，11、1又1/2】

12、

(1) x 是什么数值时，代数式的值是零；【－1/2】

(2) x 是什么数值时，代数式和的值相等。【8】

3、含有字母系数的分式方程的解法

【18】解含有字母系数的分式方程的步骤和解数字系数的分式方程的步骤一样，但是要注意这些字母可以取的值有什么限制。下面举例来说明。

例7.解关于 x 的方程：（a≠0，b≠0，a≠b）。

【解】两边都乘以 abx，得bx＋a²b＝ax＋ab²  。

        解这个整式方程，bx－ax＝ab²－a²b，(b－a)x＝ab(b－a)  。

        因为 a≠b，b－a≠0，两边都除以 b－a，得 x＝ab  。

【检验】把 x＝ab 代入整式 abx，得到 a²b²  。因为 a≠0，b≠0，所以 a²b²≠0  。

        ∴ x＝ab 是原方程的根。

例8.解关于心的方程：（a≠0，b≠0，a≠b）。

【解】两边都乘以最简公分母 ab(x＋a)(x＋b)  。得 a(x＋a)²＋b(x＋b)²＝(a＋b)(x＋a)(x＋b)  。

        整理后，得 (a²－2ab＋b²)x－a²b＋ab²－a³－b³，(a－b)²x－a²(b－a)＋b²(a－b)，(a－b)²x＝(a－b)(b²－a²)，(a－b)²x＝－(a－b)²(a＋b)  。

        因为 a－b≠0，那末 (a－b)²≠0，两边都除以 (a－b)²，得 x＝－(a＋b)  。

【检验】把 x＝－(a＋b) 代入整式 ab(x＋a)(x＋b)，它不等于零。

        ∴ x＝－(a＋b) 是原方程的根。

习题1-7(3)

解下列关于 x 的方程(1~5)：

【1、b，2、(m＋n)/2，3、a/4，4、2a，5、a＋b】

6、已知，用 a、b、c、d、t 来表示 x（a≠ct）。【(dt－b)/(a－ct)】

7、已知，推导出  。