错位相减苹果公式的前世今生

先看一个问题：

这是高中数学中非常重要的一个数列问题，叫做错位相减求和，所有老师和学生其实都知道，这个问题的计算步骤相当繁琐，非常麻烦。

甚至有个段子是关于这个的：“有老师上课前没吃饭，然后正好那天有错位相减的内容，老师留了一道题放在黑板上，然后自己下来吃了顿饭，上来之后发现还有一半学生没做完，做完的那一半中，还有另一半是算错的。”

这个段子有点夸张哈，但是这个东西确实不好算，这个计算说难不难，快的同学大概4分30秒能做完。（我课堂实测过）一般而言在，能算对的同学在8分钟左右。

大概在6，7年前，我开始对这个问题进行了研究。找到这个计算问题的公式。话句话说，如果对于这个计算不需要过程，只需要结果的情况下，我能让一个初中数学水平的普通学生在一分钟之内计算出正确结果。

下面我讲讲这个公式

大概用了一年的时间，我给出了这个公式的上面的这个形式，早期还有其他的形式。下面讲讲这个公式成为这个样子的过程。

这个时候相当于已经求出了A和B 也就是说我求出了

这个数列的通项，其中A,B的结果就在上面的公式中。在这里我小结一下，我这里得到的是

然后，继续进行的推导在这里：

最有意思的就是这个C到底是多少？当然可以硬推，这里我给出一个我的办法。

有一种数学问题是已知数列的前n项和然后通项的的问题，通常我们都有下面的公式

这所有人都知道，但是很少有人考虑过的问题的是，什么时候上面的表达式是不用分段的，下面是我思考的结果。

在Sn的表达式中，令n=0的时候如果这个表达式等于0，那么求出来的an公式是不分段的。

基于这一点，我们重新思考下面的表达式中的C是多少

假设我们已经把C已经求出来了，然后去求an，由于an的通项公式是不进行分段的，是整个的，就是我们一开始说的这个：

应用我上面的结论，我就可以知道，当n=0的时候，Sn的表达式应该是0，所以我们可以口算得出:C=-B

所以，到了这一步，我就得到了下面的Sn公式：

到此处，其实就得到了这问题的1.0版本的解答

下面就是实际的演练的结果了。

实际效果怎么样呢？相当糟糕。因为公式太复杂，学生根本记不住，尤其是其中的B的公式，复杂到爆炸。最后的结果是，很多学生自己计算到最后几乎算不对这个问题，而我给出的公式太复杂，学生又记不住，基本没有帮到学生。

那怎么办呢？改，继续优化公式，站在学生的角度来研究这个问题。

当时教过很多艺考生，他们需要的数学成绩不高，整体数学能力也比较差，所以，我当时的应对措施是干脆别让学生记忆A,B 的具体公式了，直接让学生现场计算吧。

我举个例子，这个方法是这样进行的，比如让学生计算一开始的问题：

根据公式可得到：

先计算前两项：

带入公式：

然后解出A,B。

这个就叫做公式2.0吧，这个其实比1.0的可操纵性要好一点，但是

就上面那个计算的过程，其实对很多同学来说，还是有一点点复杂，有可能出现错误，特别是艺考生。

（说实话，艺考生是我进步的动力，很多更好的方法和公式都是他们逼出来的，后来我的标准是：如果公式简单到艺考生都可以掌握，那一般学生肯定是没有问题的 ）

说实话，公式到这个阶段，已经有学生开始使用了，毕竟只是记忆公式的形式而不是具体的复杂表达式，这样要好很多了，但是，我自己觉得还是不够简洁，不够优美，因为还是需要学生们解方程。

最后，当我重新审视这两种方案的时候，我得到了最后的方案，一半用第一个方案，一半用第二个方案。其中A就是一开始的样子，倒是B公式，我用2.0版本中的待定系数法来借助初值进行计算，具体是下面这样的

然后解得

最后就得到了下面的公式3.0版本

其实这个公式一开始的时候，以及我上面的所有推导中，出现字母p的地方的全部出现的都是字母q，为什么最后要改成p。

因为我有做了最后一步优化----意义优化。

公式太枯燥，学生记不住哪。

为了方便记忆，把A和B这两个分数换成横向的书写

注意，早期的时候不是app-1，是aqq-1，哈哈，大家一看就发现了，aqq-1不好找意义，但是app-1是有意义的，大家都知道，是苹果apple的前三个字母，同时也是大家现在下载的app应用的缩写，总之app在我们的生活中出现很多。

所以最后给了这么一句话：

苹果一代

顺着A的思路，往下多走一步

哎咦，大苹果一代

“哎咦”这两个字是什么鬼，嘻嘻，你仔细体会他的谐音，是不是和a1是一样的。

为什么是“大”苹果一代，你看B的公式里面字母A是大写，这个A是第一步算出来的A嘛，所以要用“大苹果一代”，哈哈哈哈哈哈哈。

最后，我再带大家看一遍公式

这个公式在很多个场合都讲过，有给教师分享，还有对外讲座，尤其是对外讲座，简直好评如潮，口碑炸裂。这个东西最有趣的其实是第二句口诀，简直就是来搞笑的，哈哈，但是它居然有实际的意义。

最后说说这个公式在实际上课的过程中的讲解方法和授课效果。如果上课只讲这个的话，那就真是把学生毁了，实际考试当中，这个是大题，就算结果全对的话，是肯定要扣分的，所以这个是需要讲常规解法以及过程的。

这个是我上课笔记的截图

这个错位相减的计算过程我讲了至少100遍，然后看学生自己写，就会出现各种你想不到的错误，上面笔记中所有的红笔的部分全部都是同学们自己平时可能出错的地方，红笔强调的部分就是这些年积累的学生的各种可能的错。

有同学问，那你这公式什么时候用，嘻嘻，你看笔记中有“经计算”三个字对不对，写完这三个子之后，去拿一张草稿纸，代公式，计算出答案，然后写到右边，就是最后的结果。

你的卷面和其他同学的卷面没有任何不同，这样考试老师阅卷的时候你不会丢步骤分。但是你再最核心和最难的地方使用更快的方法计算的。

当然，还是会有少部分同学坚持使用原始方法计算，但是作为老师你需要强调上面红笔写出的部分，这是在帮助这部分同学提高准确率。

很多老师管这种东西叫大招。

嘻嘻，大招不大，我有很多。

你可以用这个刺激学生的学习动机和兴趣，但是你不能用这个蒙蔽学生，你说数学全靠这个，数学里面都是这个，数学就靠大招就能学好。

这就真的误人子弟了，不能这样。

说说上课效果

1.学生会很喜欢，很有兴趣。基本错位相减就没问题了

2.学生会因此产生对数学的兴趣。这是我从来没有想到过的，我自己特别喜欢愿意研究数学里面的公式方法技巧，有的没有教学价值，纯属自娱自乐，有的教学价值深远，比如这个公式。我在课上讲这个，学生会觉得原来数学还可以这样，甚至有学生从我讲完这个之后就开始觉得数学有意思。这真是意外收获。

3.学生会更加认同老师。在我这里是这样，我讲自己推导出来的东西给我自己的学生，神形兼备，我喜欢这种感觉。

姜文说：导演拍电影需要拍自己心眼里长出来的东西。对这句话，我深以为然。放到教师教书这件事情上是一样的。

关于这个公式的来龙去脉，课堂讲解，说到这里。

说说关于这个公式的故事：

从来没有想到我会在这样一个场合把这些东西写下来，在我之前那些年的教学生涯中，我都觉得这些内容是我秘而不宣的东西，从来我都是在课堂上讲给我的学生，而从来是很少讲给同行的，（以上内容只是九牛一毛）我后来友好分享给我的一个曾经的同事 。

这种东西没有法律保护，更没有知识产权。

后来我这个前同事去了大厂，（再后来带了网课）于是就有了下面这个截图，错位相减的这个公式的解法的观看人数是14万，在观看人数最多的4个内容中，方法尽数来自我这里，我感到无比欣慰。也感谢我的这位前同事帮我验证了这些东西的巨大价值。

这些公式也好，方法也好，他们有什么特点呢？

1.简洁好记。太复杂就基本没戏了，学生不用。无论前面推导有多复杂，结论必须简单，不简单就回去继续优化吧。哈哈哈

2.能够解决普适性问题。说白了，高一高二和高考中的高频考点问题，考的少的，就算你再简单，也没有必要教给学生，因为常规方法就够了。

3.能够大大优化传统方法。你讲一个新方法，比原来的还复杂，你讲毛呀，学生自己搞定就好啦。

4.讲解容易。这个其实比较好办，说白了，总有更好的讲解方式，多想多教，你肯定能找到。

希望这些技巧和方法能够帮到尽可能多的同学和老师。

后面，我一个一个跟大家讲讲这些方法技巧和方法。

看到大家的很多评论，我觉得我高兴死了。嘻嘻。