无限循环小数和分数为什么能互相转化

A QUARK扯闲篇儿

无限循环小数和分数为什么能互相转化

在我们的小学课本上有这样一句话：

分数能除尽等于有限循环小数，除不尽等于无限循环小数

不知道大家当年是否想过

为什么？

01无限循环小数化为分数

先看一个著名的等式

0.99...=1

这是无限小数化为分数的一个特例，我们可以这样证明：

设：

x=0.99...

∴10x=9.99...

∴9x=10x-x

∴9x=9

∴x=1

用这个方法，可将所有的无限循环小数化为分数

设：

x为无限循环小数，循环节为a，

即x=0.aa...

且a为n位数

∵x=0.aa...

∴10nx=a.aa...

∴(10n-1)x=a

∴x=a/(10n-1)

即

0.aa...=a/(10n-1)

例如

0.11...=1/9

0.1212...=12/99

0.123123...=123/999

02分数化为无限循环小数

通过上面的式子，我们也可以将分母为(10n-1)的分数化成无限循环小数，那分母不是由一堆9组成的分数怎么办呢

当然是把它的分母变成(10n-1)了

我们知道一个分数的分子分母同时乘以相同的数(0除外),分数大小不变。

那么我们可以将分子分母同时乘以一个数，使其分母变为(10n-1)的形式

因为(10n-1)的个位为9，而5的倍数个位为0或5，2的倍数个位一定是偶数，所以当分母为2或5的倍数时，只要将分子单独乘上几个10，使其分母不含因数2和5，将其化为小数后再把乘上的10除回来就可以了。

03寻找n的值

当分数的分母不含因数2和5时，为什么一定有一个(10n-1)为分母的倍数呢

事实上，对于任意不含因数2和5自然数c，当n为不大于c且与c互素(即只有1一个公因数，也称互质)的数的个数时，(10n-1)一定是c的倍数

例如

1,2,3,4,5,6都小于7，且与7互素

则(106-1)为7的倍数(可以自己算算试试)

据此，我们可以得到：

对于任意分数b/c(c不含因数2和5)，设n为不大于a且与a互素的数的个数，m=b(10n-1)/c，则有

b/c=0.mm...

例如

5/7=0.714285 714285...

7/15=0.4666...

当b/c为有限小数时，用此公式算出来的也是无限小数的形式，但如上面所说，他们的大小都是一样的

例如

1/1=0.99...

1/2=0.499..

2/1=1.99...

至于为什么当n为不大于c且与c互素的数的个数时，(10n-1)一定是c的倍数，我们以后有空再说
未完待续

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夸克欧氏

翻译《几何原本》的