商集合

定义  设A是一个非空集合，R是A×A的一个子集，a,b∈A,若（a,b）∈R，则称a与b有关系R，记为aRb，且称R为A的一个关系（二元关系）。

定义   若集合A的一个关系R满足

1  反身性； aRa,  ∀ a∈A ;

2  对称性；aRb →bRa ,   ∀ a,b ∈A ;

3  传递性 ； aRb，bRc →aRc,   ∀ a,b ,c∈A .

则称关系R为A的一个等价关系。

实数集中的≤关系不是等价关系，因其不满足对称性。

定义  若将集合A分成一些非空子集，每个子集称为A的一个类，使得A的每一元素属于且仅属于一个类，则称这些类的全体为集合A的一个分类，也称为A的一个分划。

A的等价关系与A的分类之间有密切的联系，这由以下两个定理可以看出

定理  集合A的一个分类决定A的一个等价关系

证明  我们利用A的分类来定义A的一个关系R，然后证明R是等价关系。定义 当且仅当a与b同在一类时，aRb。据定义知这样规定的R是A的一个关系。又因为a∈A,a与a同在一类，所以R满足反身性；a,b∈A，若aRb，表面a与b同在一类，则b与a也同在一类，所以bRa，即R满足对称性；a,b,c∈A，若aRb，bRc，表明a与b同在一类，b与c同在一类，则a与c也同在一类，所以aRc，即R满足传递性。根据定义，R是A的一个等价关系。

定义  设集合A中有等价关系R，a∈A,则A中与a有关系的所有元素的集合[b∈A,｜bRa}，称为a所在的等价类，记为[a]，a称为这个等价类的代表元。

同一个等价类可以有不同的代表元。

定义 设集合A中有等价关系R，则以R为前提的所有等价类（重复的只取一个）的集合【[a]】,称为A对R的商集合，记为A/R。

我们注意到，等价类[a]是A的子集合，却是A/R的元素

一个集合通过等价关系，在新的层次上产生出与原集合有联系的新的集合，——商集合，这也反映出等价关系不同于一般二元关系的重要性。

出自 （简明抽象代数）

:顾沛，邓少强   编