【朗道理论物理学教程力学精读笔记Ep4】系统的自由度

（老碧作为外行人，粗浅的理解，如有偏差，欢迎大佬们不吝赐教！）

参考资料：（一起服用感觉更嗨，略过亦可~~~lol！）

1. 《理论力学》 马尔契夫 著——例题来源，概念：虚位移

2. 《力学与理论力学 [下册]》 秦敢 向守平 编著——概念：约束

3. 清华大学 李俊峰 理论力学网课（参考资料1的翻译者，看书感觉巨牛批一大佬）——概念：自由度

4. 《数学分析教程（上册） 第二版》 常庚哲 史济怀 编——概念：弧长、曲率、曲率公式

5. 《高等数学导论 上册 第3版》中国科学技术大学高等数学教研室 编——概念：曲率、曲率公式、曲率半径

6. 《高等数学 上册 第六版》同济大学数学系 编——概念：曲率、曲率公式、曲率半径

7. 《高等代数（上册）——大学高等代数课程创新教材》丘维声 著——n维向量空间

这里引入了自由度的概念，因为理论力学研究的是欧几里得空间情形下的物体运动，所以横平竖直，三维空间，x，y，z三个两两线性无关的坐标轴为空间中任意一点赋予三个坐标。

物体的位置（径矢）就可以以坐标与参数时间t构成的参数方程组表示，而物体的速度则可以用位置与时间的导数表示。

a.自由度的概念

我们研究只有一个质点的系统内，质点在空间内的自由运动（各个方向不受限制，各个方向的运动状态相互独立，不会受其他因素影响），就会建立一个新的三维坐标系，那么研究这个质点就需要空间相关的三个变量（质点运动沿x，y，z轴分解对应的向量关于时间的函数）。

如果我们研究N个质点的系统，且质点之间相互独立，不存在任何意义上的相互影响，那么我们就需要3N个上述变量。

我们将上述描述变量称为系统的自由度，指的是，描述系统所有质点运动状态所需要的最少的变量，可以类比于线性代数中线性空间基的概念。

b.自由度的性质（例子）

首先自由度是一个变量，那么具有稳恒性质的量就不具有自由度：

• 比如在平面活动的物体，z轴坐标恒为0，则z的取值就不是自由度；

• 对于刚性杆，杆的长度始终不变，也不是自由度。

假如其中的所有质点运动相互之间都是相互独立，且质点各个方向上的运动状态也都是独立的，不会互相影响牵制的，那么，N个质点就需要3N个变量进行描述，也就是这个由N个质点组成的系统自由度为3N。

但是假如其中存在不同质点之间运动相互依赖，或者同一个质点上，两个变量之间相互依赖，那么这个时候其自由度就小于3N，比如说：

1. 2个质点用杆连接在平面上运动自由度为3——

   分析：

1. 我们设：

   ψ（变量）为杆向量AB与x轴夹角，设A（x1,y1,z1），B（x2,y2,z2）——7个变量；

   杆长λ——杆长为常量；

2. 于是有，x2=x1+λcos ψ，y2=y1+λsin ψ，z1=0，z2=0；

3. 所以描述该系统只需要（x1,y1,ψ）或（x2,y2,ψ）或（x1,y2,ψ）或（x2,y1,ψ）中任意一个三个变量的组合就够了，故而自由度为3；

4. 同时，方程数为4，变量数为7，自由度：7-4=3；

2. 冰刀运动自由度为2,： 冰刀以细杆为模型，在运动过程中，杆上一个点C的速度始终沿着杆——

   分析

1. 我们设（变量）ω为点C与x轴夹角，设C（x3,y3,z3）——4个变量；

2. 于是有y3=x3tan ω，z3=0；

3. 所以描述该系统只需要（x3,ω）或（y3,ω）中任意一个两个变量的组合就够了，故而自由度为2；

4. 同时，方程数为2，变量数为4，自由度：4-2=2.

——分析与公式法结果统一。