原文链接：http://tecdat.cn/?p=23646 

原文出处：拓端数据部落公众号

你可能会问，为什么是copulas？我们指的是数学上的概念。简单地说，copulas是具有均匀边际的联合分布函数。最重要的是，它们允许你将依赖关系与边际分开研究。有时你对边际的信息比对数据集的联合函数的信息更多，而copulas允许你建立关于依赖关系的 "假设 "情景。copulas可以通过将一个联合分布拟合到均匀分布的边际上而得到，这个边际是通过对你感兴趣的变量的cdf进行量化转换而得到的。 

这篇文章是关于Python的（有numpy、scipy、scikit-learn、StatsModels和其他你能在Anaconda找到的好东西），但是R对于统计学来说是非常棒的。我重复一遍，R对统计学来说是非常棒的。如果你是认真从事统计工作的，不管你是否喜欢R，你至少应该看看它，看看有哪些包可以帮助你。很有可能，有人已经建立了你所需要的东西。 而且你可以从python中使用R（需要一些设置）。

说了这么多关于R的好处，我们还是要发一篇关于如何在python中使用一个特定的数学工具的文章。因为虽然R很牛，但python确实有令人难以置信的灵活性，可以用来处理其他事务。

这篇文章中即将出现的大部分内容都会用Jupyter Notebooks来构建。

软件

我很惊讶，scikit-learn或scipy中没有明确的copula包的实现。

2D数据的Frank、Clayton和Gumbel copula

测试

第一个样本（x）是从一个β分布中产生的，（y）是从一个对数正态中产生的。β分布的支持度是有限的，而对数正态的右侧支持度是无穷大的。对数的一个有趣的属性。两个边际都被转换到了单位范围。

我们对样本x和y拟合了三个族（Frank, Clayton, Gumbel）的copulas，然后从拟合的copulas中提取了一些样本，并将采样输出与原始样本绘制在一起，以观察它们之间的比较。

1. 


2. #等同于ppf，但直接从数据中构建

3. sortedvar=np.sort(var)

4. 


5. #绘制

6. 


7. for index,family in enumerate(['Frank', 'clayton', 'gumbel']):

8. 


9. #获得伪观测值

10. u,v = copula_f.generate_uv(howmany)

11. 


12. #画出伪观测值

13. axs[index][0].scatter(u,v,marker='o',alpha=0.7)

14. 


15. 


16. 


17. plt.show()

18. 


19. #总样本与伪观测值的对比

20. sz=300

21. loc=0.0 #对大多数分布来说是需要的

22. sc=0.5

23. y=lognorm.rvs(sc,loc=loc, size=sz)

独立（不相关）数据

我们将从β分布中抽取（x）的样本，从对数正态中抽取（y）的样本。这些样本是伪独立的（我们知道，如果你用计算机来抽取样本，就不会有真正的独立，但好在是合理的独立）。

1. 


2. #不相关的数据：一个β值（x）和一个对数正态（y）。

3. a= 0.45#2. #alpha

4. b=0.25#5. #beta

5. 


6. #画出不相关的x和y

7. plt.plot(t, beta.pdf(t,a,b), lw=5, alpha=0.6, label='x:beta')

8. 


9. 


10. #绘制由不相关的x和y建立的共线性图

11. title='来自不相关数据的共线性 x: beta, alpha {} beta {}, y: lognormal, mu {}, sigma dPlot(title,x,y,pseudoobs)

12. 


相依性（相关）数据

自变量将是一个对数正态（y），变量（x）取决于（y），关系如下。初始值为1（独立）。然后，对于每一个点i, 如果 

, 那么 

, 其中c是从1的分数列表中统一选择的，否则, 

.

1. 


2. #相关数据：一个对数正态（y）。

3. 


4. #画出相关数据

5. 


6. np.linspace(0, lognorm.ppf(0.99, sc), sz)

7. plt.plot(t, gkxx.pdf(t), lw=5, alpha=0.6,

拟合copula参数

没有内置的方法来计算archimedean copulas的参数，也没有椭圆elliptic copulas的方法。但是可以自己实现。选择将一些参数拟合到一个scipy分布上，然后在一些样本上使用该函数的CDF方法，或者用一个经验CDF工作。这两种方法在笔记本中都有实现。

因此，你必须自己写代码来为archimedean获取参数，将变量转化为统一的边际分布，并对copula进行实际操作。它是相当灵活的。

1. #用于拟合copula参数的方法

2. 


3. # === Frank参数拟合

4. """

5. 对这个函数的优化将给出参数

6. """

7. #一阶debye函数的积分值    int_debye = lambda t: t/(npexp(t)-1.)

8. debye = lambda alphaquad(int_debye ,

9. alpha

10. )[0]/alpha

11. diff = (1.-kTau)/4.0-(debye(-alpha)-1.)/alpha

12. 


13. 


14. 


15. #================

16. #clayton 参数方法

17. def Clayton(kTau):

18. try:

19. return 2.*kTau/(1.-kTau)

20. 


21. 


22. #Gumbel参数方法

23. def Gumbel(kTau):

24. try:

25. return 1./(1.-kTau)

26. 


27. 


28. #================

29. #copula生成

30. 


31. #得到协方差矩阵P

32. #x1=norm.ppf(x,loc=0,scale=1)

33. #y1=norm.ppf(y,loc=0,scale=1)

34. #return norm.cdf((x1,y1),loc=0,scale=P)

35. 


36. 


37. 


38. 


39. #================

40. #copula绘图

41. 


42. fig = pylab.figure()

43. ax = Axes3D(fig)

44. 


45. ax.text2D(0.05, 0.95, label, transform=ax.transAxes)

46. ax.set_xlabel('X: {}'.format(xlabel))

47. ax.set_ylabel('Y: {}'.format(ylabel))

48. 


49. 


50. #sample是一个来自U,V的索引列表。这样，我们就不会绘制整个copula曲线。

51. if plot:

52. 


53. print "绘制copula {}的样本".format(copulaName)

54. returnable[copulaName]=copulapoints

55. if plot:

56. zeFigure=plot3d(U[样本],V[样本],copulapoints[样本], label=copulaName,

57. 


58. 


生成一些输入数据

在这个例子中，我们使用的是与之前相同的分布，探索copula 。如果你想把这段代码改编成你自己的真实数据，。

1. 


2. t = np.linspace(0, lognorm.ppf(0.99, sc), sz)

3. 


4. #从一些df中抽取一些样本

5. X=beta.rvs(a,b,size=sz)

6. Y=lognorm.rvs(sc,size=sz)

7. #通过对样本中的数值应用CDF来实现边缘分布

8. U=beta.cdf(X,a,b)

9. V=lognorm.cdf(Y,sc)

10. 


11. #画出它们直观地检查独立性

12. plt.scatter(U,V,marker='o',alpha=0.7)

13. plt.show()

可视化Copulas

没有直接的构造函数用于高斯或tCopulas，可以为椭圆Copulas(Elliptic Copulas)建立一个更通用的函数。

1. 


2. Samples=700

3. #选择用于抽样的copula指数

4. np.random.choice(range(len(U)),Samples)

5. 


6. 


7. Plot(U,V)

8. 


9. 


1. 


2. <IPython.core.display.Javascript object>

Frechét-Höffding边界可视化

根据定理，我们将copula画在一起，得到了Frechét-Höffding边界。

1. 


2. 


3. #建立边界为copula的区域

4. plot_trisurf(U[样本],V[样本],copula['min'][样本],

5. c='red') #上限

6. plot_trisurf(U[样本],V[样本],copula['max'][样本],

7. c='green') #下限

8. 


9. 


最受欢迎的见解

1.在python中使用lstm和pytorch进行时间序列预测

2.python中利用长短期记忆模型lstm进行时间序列预测分析

3.使用r语言进行时间序列（arima，指数平滑）分析

4.r语言多元copula-garch-模型时间序列预测

5.r语言copulas和金融时间序列案例

6.使用r语言随机波动模型sv处理时间序列中的随机波动

7.r语言时间序列tar阈值自回归模型

8.r语言k-shape时间序列聚类方法对股票价格时间序列聚类

9.python3用arima模型进行时间序列预测