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用一下余弦定理即可（2018课标Ⅲ，11）

2023-01-05 16:41 作者:数学老顽童 0人读过 | 我要投稿

（2018课标Ⅲ，11）设 $F_1$ 、 $F_2$ 是双曲线 $C$ ： $%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7Ba%5E2%7D-%5Cfrac%7By%5E2%7D%7Bb%5E2%7D%3D1$ （ $a%3E0$ ， $b%3E0$ ）的左、右焦点， $O$ 是坐标原点，过 $F_2$ 作 $C$ 的一条渐近线的垂线，垂足为 $P$ .若 $%5Cleft%7C%20PF_1%20%5Cright%7C%3D%5Csqrt%7B6%7D%5Cleft%7C%20OP%20%5Cright%7C$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A. $%5Csqrt%7B5%7D$

B. $2$

C. $%5Csqrt%7B3%7D$

D. $%5Csqrt%7B2%7D$

解：

如图，因为 $%5Ctan%20%20%5Cangle%20POF_2%3D%5Cfrac%7Bb%7D%7Ba%7D$ ，

所以 $%5Ccos%20%20%5Cangle%20POF_2%3D%5Cfrac%7Ba%7D%7B%5Csqrt%7Ba%5E2%2Bb%5E2%7D%7D%3D%5Cfrac%7Ba%7D%7Bc%7D$

所以 $%5Cleft%7C%20OP%20%5Cright%7C%3Da$ .

因为 $%5Cangle%20POF_1%2B%5Cangle%20POF_2%3D%5Cmathrm%7B%5Cpi%7D$ ，

所以 $%5Ccos%20%20%5Cangle%20POF_1%2B%5Ccos%20%20%5Cangle%20POF_2%3D0$ ，

即 $%5Cfrac%7Ba%5E2%2Bc%5E2-%5Cleft(%20%5Csqrt%7B6%7Da%20%5Cright)%20%5E2%7D%7B2ac%7D%2B%5Cfrac%7Ba%7D%7Bc%7D%3D0$ ，

解得 $%5Cfrac%7Bc%7D%7Ba%7D%3D%5Csqrt%7B3%7D$ ，选C.

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