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第五章 定积分

第四节 反常积分

一、无穷限的反常积分

定义：设函数f(x)在区间[a,+∞)上连续，取t>a，如果极限

——存在，则称此极限为函数f(x)在无穷区间[a,+∞)上的反常积分，记作

——这是也称该反常积分收敛；如果上述极限不存在，则函数f(x)在无穷区间[a,+∞)上的反常积分就没有意义，习惯上称为反常积分发散，这是上述记号不再表示数值了。

类似地，设函数f(x)在区间(-∞,b]上连续，取t<b，如果极限

——存在，则称此极限为函数f(x)在无穷区间(-∞,b]上的反常积分，记作

——这是也称该反常积分收敛；如果上述极限不存在，则函数f(x)在无穷区间(-∞,b]上的反常积分就没有意义，则称为反常积分发散。

二、无界函数的反常积分

概念：

• 瑕点：如果函数f(x)在点a的任一邻域内都无界，那么点a称为函数f(x)的瑕点（也称为无界间断点）。

• 瑕积分：无界函数的反常积分又称为瑕积分。

定义：设函数f(x)在(a,b]上连续，点a为f(x)的瑕点。取t>a，如果极限

——存在，则称此极限为函数f(x)在(a,b]上的反常积分，仍然记作

——这是也称该反常积分收敛；如果上述极限不存在，则称该反常积分发散。

类似地，设函数f(x)在区间[a,b)上连续，取b为f(x)的瑕点。取t<b，如果极限

——存在，则定义

——否则，则称该反常积分发散。