通用线性滑模控制器的设计

    本文将以一般受干扰系统为例，给出通用的线性滑模控制器的设计，首先，考虑如下n阶受扰线性系统：

                                                   

其中，是系统的状态，是控制的输人，是系统的扰动，且满足有界，且。我么假设可控，且B列满秩，为了不失一般性，取非奇异矩阵，则B矩阵可以表示为,，则可取非奇异矩阵P使得系统经过线性变换，使得系统转换为

                                                

其中，P表示为

                                         

                                       

                                       

经过线性变换后的系统状态表示为，，则上面的系统可写成

                                                    

                                                    

其中，，且满足，针对上述系统，可以设计如下的线性滑模面：

                                       

其中，矩阵为不失一般性的分析，我们设为非奇异矩阵。通过设计适合的系数矩阵C保证状态在滑模面上是向平衡点收敛的。

        当系统到达滑模面时有，将其带入系统则有

                                                 

         为了保证上式是渐进稳定的，我们通过对和进行零极点选择，使得上述系统矩阵满足Hurwitz稳定条件，则系统能在状态量达到滑模面之后收敛到平衡点。

        当滑模系数矩阵确定后，我们可以设计如下滑模控制器：

       

其中，则闭环系统状态全局渐进收敛到原点。

        证明可以分为到达段和滑动段两个部分，即分别证明系统的状态变量能够在有限时间内收敛到滑模面，然后沿着滑模面收敛到原点。

        对于到达段，我们选择李雅普诺夫函数，对其进行求导可得

                     

                          

        将设计的控制器带入到上式则有

                       

                        

        由上式子可以发现系统状态会在有限时间内收敛到滑模面上。

        对于滑动段，当时，系统的动态可以等效为

                                          

         由前面分析可知，在滑模面上系统状态会收敛到原点，因此提出的滑模控制器能使得系统全局渐进收敛到原点。

        为了验证上述理论，我们在Simulink环境下搭建了相应模型进行验证，我们考虑如下系统

                                             

其中，，为外部扰动；A和B矩阵分别为

                                  ,

通过分析可知，上述系统是可控的，因此，我们取非奇异变换矩阵T，对系统进行线性变换。

                                   

经过变换以后的系统状态变成，

针对变换后的系统，我们设计如下滑模面：

                              

其中，，通过分析可知，该系数可以使得系统满足Hurwitz的稳定条件，再带入到上文提出的滑模控制器即可得到滑模控制率。在本文中我们选择系统的初始状态为，控制增益。仿真结果如下图所示

        从上述仿真结果可以发现，设计的滑模控制器能够让系统在有限时间内收敛，并具有抗外部干扰的能力。