【菲赫金哥尔茨微积分学教程精读笔记Ep75】Bolzano-Weierstrass引理证明柯西准则

今天来讲书上的一个例子，用Bolzano-Weierstrass引理来证明柯西准则——

41Bolzano-Weierstrass引理

柯西准则（充要条件：条件结论反过来也成立）——

条件：对于任意小数ε>0，存在自然数N，当n>N且n'>N时，有|xn-xn'|<ε；

结论：数列{xn}有极限x，即对于任意小数ε'>0，存在自然数N'，当n>N'时，有|xn-x|<ε'。

今天我们来从“Bolzano-Weierstrass引理”推导“柯西准则”，其中必要性证明同Ep66，我们只证明充分性。

充要条件，必然证明分为必要性和充分性两部分——

a.必要性：用数列极限的定义证明即可。

b.充分性——

已知：对于任意小数ε>0，存在自然数N，当n>N且n'>N时，有|xn-xn'|<ε；

求证：数列{xn}有极限x，即对于任意小数ε'>0，存在自然数N'，当n>N'时，有|xn-x|<ε'。

工具：布尔查诺-魏尔斯特拉斯引理（：有界数列必存在收敛子列）。

分析：证明柯西列为有界数列，证明其子列极限即为其极限即可。

证明——

step1：证明柯西列为有界数列——

1. 取定ε0>0，存在自然数N0，当n>N0且n'>N0时，有|xn-xn'|<ε0；

2. 由1，取n'=N0+1>N0，则当n>N0时，有xN0+1-ε0<xn<xN0+1+ε0；

3. 对于n<=N0，有min{x1，x2，……，xN0}<=xn<=max{x1，x2，……，xN0}；

4. 对于任意自然数n，有min{x1，x2，……，xN0，xN0+1-ε0}<=xn<=max{x1，x2，……，xN0，xN0+1-ε0}，即数列{xn}有界；

5. 由布尔查诺-魏尔斯特拉斯引理，数列{xn}有收敛子列{xnk}，即存在实数x，对任意小数ε>0，存在自然数N，当nk>N时，|xnk-x|<ε。

step2：证明x为数列{xn}的极限——

1. 由数列为柯西列，即对于任意小数ε>0，存在自然数N1，当n>N1且n'>N1时，有|xn-xn'|<ε/2；

2. 又对任意小数ε>0，存在自然数N2，当nk>N2时，|xnk-x|<ε/2；

3. 则对于任意小数ε>0，存在自然数N=max{N1，N2}，当n>N且nk>N时，有|xn-x|=|xn-xnk+xnk-x|<=|xn-xnk|+|xnk-x|=ε，即x为{xn}极限，证毕。

就到这里！