作用量，光程，变分||理力&光学

//理力和光学在一个学期上，干脆开同一个文集

//这个文集应该会是这个学期的各种笔记、想法，但内容可能不会全面覆盖

//这里随时接收来自南开大学物院的投稿

//这篇笔记是关于变分原理及其在理论力学与光学中的应用

0 牛爵爷、伯努利与最速降线

最早涉及变分原理的物理问题大约就是最速降线了：

质点被约束在光滑轨道上，仅受重力驱动从A点滑至B点。求使质点通过AB用时最短的轨道方程。

伽利略作为物理学的奠基人，曾经研究过这个问题，并猜测圆弧是最速降线，同时证明了通过圆弧的时间小于直接通过AB线段的时间。然而我们知道，受到当时数学水平的限制，他给出的结果并不正确。

我们可以简单分析一下这个问题，不妨设A点为原点，x轴水平，y轴竖直向下，则质点的速度表示为

质点通过AB耗时为

这个问题的难点在于，我们完全不知道的表达式，但要求上面这个积分的最小值。这里涉及变分法，后文再说。

总之是伯努利最早给出最速降线的正确解。哪个伯努利我也忘了，只知道他将最速降线问题等效为光学问题，并利用折射定律解出最终方程。具体是如何等效的，后文再说。

当时的伯努利用两周解出这个问题后相当自信地向全欧洲数学界发出挑战：

If no one else can find this curve before the end of the year, I will publish it.

当时牛爵爷对于这样的挑战略显不爽，然后...据说是用一个通宵，自创类似变分的方法搞定了这个问题。数学史上著名的打脸事件。牛爵爷到底做了什么，还是后文再说。

1 光程，费马原理

还是先讲讲光学。几何光学三定律，众所周知：直线传播、反射定律、折射定律。

然而，以上三定律其实都可以由费马原理导出。我们先定义光程：给定路径的光程就是该路径以折射率加权的长度。

光线在某两点间的光程正反映光线通过两点的时间。

费马原理：光线的真实路径总是使光程(即上面那个积分)取到极值或驻点。

① 费马→直线传播定律

显然，两点间线段最短，光程自然是极值。你和我提广相，引力透镜？那可有点复杂...

② 费马→反射定律

如图，作对称点，不难发现符合反射定律的路径光程为极小值(注意极值不是最值)。

③ 费马→折射定律

如图所示。

我们注意到，费马原理的数学模型和前面最速降线非常相似：一个积分由未知路径决定，求使它取到极值的未知路径。

那么，伯努利的答案也就一步之遥了——质点的速度可以等效为一束光的速度，那么由于介质中光速反比于折射率，空间中的等效折射率就是.

然后，由折射定律，

其中φ是最速降线与y轴的夹角。再由此伯努利得出这是摆线的结论。

当然牛爵爷，当年的世界第一人，同样给出令人印象深刻的解答。接下来看看牛爵爷当时对付最速降线的操作——变分法。

2 变分原理，牛爵爷的回答

概括一下需要变分操作的基本模型：我们有一个由未知路径决定的积分：

求使积分取极值/驻点的路径。回忆一下，要求一个函数的极值点，一般是求它的导数，而求导就是给自变量x一个微小变化dx。

所以，这次给函数一个微小变化。

这个微小变化始终满足：①  ② 在整个区间为小量。

那么，F的变分：

对积分的第二项进行分部积分：

所以，

那么，F取到极值，即δF为0，也就是

（事实上这被称为拉格朗日方程，后文还会提到）

回到最速降线问题，这里

代入拉格朗日方程，得到...(公式有点长，手写一个吧)

再利用，积分一次，可以得到

我们注意到这其实就是，φ是轨道和y轴的夹角。数理基础扎实的牛爵爷自然不可能看不出这就是传说中的摆线。

3 作用量，分析力学

其实，变分操作的应用远不止于此。分析力学中，最小作用量原理，这是一个当年让费曼教授感到震惊的原理：

定义系统的拉格朗日函数为

其中T和V分别是总动能和总势能，而系统的动力学过程总是满足其作用量

取得极值。

一般来说，对于系统的某一坐标，拉格朗日函数可以写为的形式。那么重复前面的变分运算，就可以得到拉格朗日方程：

最近开始看朗道力学，这本书里面最让我印象深刻的一点就是，整个体系的开始是最小作用量原理，且整本书很少提到牛顿力学体系。事实上，到后面的哈密顿力学中，动量和坐标一样称为了独立变量。方程数量更多，阶数降了一阶，这种思路完全不同于牛顿体系。

4 总结

分析力学的最小作用量原理、光学的费马原理、最速降线问题，背后是非常相似的数学模型。这一系列问题中的变分操作不同于以往的力学问题，给我们进一步学习物理学提供了新思路。

事实上，有了量子力学，我们发现动量似乎可以是和坐标一样的独立变量，这意味着不像牛顿体系那样，，动量完全由坐标决定；动量和坐标其实是受不确定性关系的制约。

这样看来，把动量作为独立变量，似乎更为接近真正的物理。

当然这都是后面的事了。