【最后十课】三角函数核心全讲！2023高考冲刺！第2讲

三角函数

一.三角函数的定义

补充：1.如果点A坐标为（sinx,cosx）那么我们可以认为A在单位圆上运动（单位圆的定义）

2.如果角x∈(0，π/2),那么tanx>x>sinx（导数部分也有介绍）

证明如下

例题1（2022甲卷）

可以发现c/b是正切，可以使用上面的不等式

a,b大小比较直接构造函数，随后利用导数性质求证大小关系

二.同角三角函数基本关系

2. （sinα+cosα）²=1+sin2α

（sinα-cosα）²=1-sin2α

（sinα+cosα）²+（sinα-cosα）²=2

3.sin与cos的齐次分式化tan

若题目已知tan或者出现sin与cos的一次齐次分式，都可以采用弦化切

若对于例题2，3这种看似不存在齐次的分式，我们可以利用1=sinx²+cosx²进行1的转化

四.诱导公式

核心：奇变偶不变，符号看象限

①奇变偶不变：看π/2的系数，若为奇数就变三角函数符号，偶数则不变

②符号看象限：看变化前的三角函数是正是负

例子：sin（x-3/2π）=cosx

例题

不难发现等式中有许多角互余，因此我们可以利用互余角sin与cos的呼唤得到sinx²+cosx²=1的等式，进而求出答案

五.三角恒等变换

统一思想

角度之间的特殊关系

1.30°，60°，90°，180°，270°，360°，二倍关系等（注意：如果有两个角看似满足二倍关系，但也要注意其加和是否满足30,60等特殊度数）

典型特征总结

六.Asin（ωx+φ）+B的运用

1.利用代數式進行化簡

核心：拆，降，合

2.利用圖像進行化簡

A：利用此函數的最小值和最大值進行求解，即m-n/2

φ：只要有最值點，帶入最值點計算

B:m+n/2

ω：利用週期公式計算即可

例題

題目可知3/4T=3/4π，即可以算出ω=2

求φ則一定要帶入x=13/12π的對應點計算

例題2

由於這道題最值點未知，因此我們只能使用零點來列方程，即f（-4/9π）=0

由於本函數的一個週期T小於π-（-9/4π）因此我們可以得到一個關於週期的不等關係，同理也可以根據負半軸得到另一個關於T的不等關係

七.平移與伸縮

例題

八.條件翻譯

例題

例題2

翻譯條件

1.函數在[π/6,π/2]單調遞減：T/2≥π/3

2.連等式：前兩個等式可以知道對稱軸，即x=7/12π；第一個與第三個函數值相等：可以得到對稱中心(π/3,0)

九.整體換元法

核心思想：將括號內的等式設為一個字母t（但要注意x前面的係數大於0）

例題1,2

十.非標準結構的三角函數

例題1

例題2（含絕對值）

含絕對值的函數題目解法：①分類②畫圖