《几何原本》命题3.33【夸克欧氏几何】
命题3.33：
可在已知线段上作一弓形，使其所对的圆周角等于已知角
已知：线段AB，∠C
求：在AB上作一弓形，使其所对圆周角等于∠C
当∠C是锐角时
解：
在AB上以点A为顶点作∠BAD=∠C
（命题1.23）
过点A作AE⊥AD
（命题1.11）
取AB中点F
（命题1.10）
过点F作FG⊥AB，与AE交点记为点G
（命题1.12）
连接BG
（公设1.1）
∵FG⊥AB
（已知）
∴∟BFG=∟AFG
（定义1.10）
∵AF=BF，FG公用
（已知）
∴△AFG≌△BFG，AG=BG
（命题1.14）
以点G为圆心，以AG或BG为半径作圆ABE
（公设1.3）
连接BE
（公设1.1）
求证：∠AEB=∠C
证：
∵AE⊥AD
（已知）
∴AD切圆ABE于点A
（命题3.16推论）
∴∠BAD=∠AEB
（命题3.32）
∵∠BAD=∠C
（已知）
∴∠AEB=∠C
（公理1.1）
当∠C是直角时
解：
在AB上以点A为顶点作∠BAD=∠C
（命题1.23）
取AB中点F
（命题1.10）
以点F为圆心，以AF或BF为半径作圆ABE
（公设1.3）
连接AE，BE
（公设1.1）
求证：∠AEB=∠C
证：
∵∠BAD=∠C，∠C是直角
（已知）
∴∠BAD是直角
（定义1.10）
∴AB⊥AD
（定义1.10）
∴AD切圆ABE于点A
（命题3.16推论）
∴∠BAD=∠AEB
（命题3.32）
∵∠BAD=∠C
（已知）
∴∠AEB=∠C
（公理1.1）
当∠C是钝角时
解：
在AB上以点A为顶点作∠BAD=∠C
（命题1.23）
过点A作AE⊥AD
（命题1.11）
取AB中点F
（命题1.10）
过点F作FG⊥AB，与AE交点记为点G
（命题1.12）
连接BG
（公设1.1）
∵FG⊥AB
（已知）
∴∟BFG=∟AFG
（定义1.10）
∵AF=BF，FG公用
（已知）
∴△AFG≌△BFG，AG=BG
（命题1.14）
以点G为圆心，以AG或BG为半径作圆ABE
（公设1.3）
求证：∠AHB=∠C
证：
∵AE⊥AD
（已知）
∴AD切圆ABE于点A
（命题3.16推论）
∴∠BAD=∠AHB
（命题3.32）
∵∠BAD=∠C
（已知）
∴∠AHB=∠C
（公理1.1）
证毕
此命题在《几何原本》中再未被使用
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