学习拓扑感悟

  首先纪念一下这一天，也许是初步完成了拓扑的比较简单的部分。我认为这是随微积分和线代后我磕了好久的第一门有点高阶的课程。在b站也听过很多不同老师的讲课方式，有老师会认为点集拓扑讲的快一些直接进入代数拓扑，之后缺什么补什么会是一个好的策略，当然也有老师愿意花很长时间集中介绍点集拓扑。我不知道是幸运还是不幸运，我遇到的那位老师花了大量时间来介绍点集拓扑，我回头来再看其他老师的点集拓扑，确实会感觉更简单一些，但学习的过程不得不说是痛苦的（自己一个人死磕，看不懂只能上网查，没有人能帮），虽然这种经历对于微积分和线代我也有体验，但拓扑接触人群毕竟远远少于这两门课，能找到的资源和其他大佬的看法也就相对少一些。回头来看，我能接触这门课程是因为感兴趣吧，其实我对任何数学课都挺感兴趣，唯一要克服的就是三分钟热度，因为一开始介绍的必然是简单的，越到后面才越难。我印象很深刻的是连基、乘积拓扑等也许看上去不难的概念我也花了非常长的时间才理解，我开始怀疑是不是自己能力的问题，越到后面开始谨慎起来，对于笔记的部分（b站上传了一部分），我会再用中文版重写自己理解一遍，然而这还是远远不够，尤其是到后程阶段，对于里面定理的证明只能保证自己能听懂（有时候这个都不能保证），只能感叹数学家真厉害，而要理解为什么这么证，也许我得花上更多的时间去领悟。

  点集拓扑我认为它与很多数学分支都有挂钩，并且里面相当一部分的内容能够在数学分析中看见，所以学好这门课无疑能给将来的数学学习提供很好的帮助。比较顺畅的去定义一个拓扑空间是利用度量空间的概念，随后与微积分相同，也会有拓扑空间的连续性，一个函数连续则对应开集的原象仍为开集，第一次听说的朋友也许会感觉挺有意思，将集合里的东西和连续结合在一起。同样，还定义了基，这个概念虽然在微积分中不常见，但完全可以运用到数学分析中，Zorich的数学分析便是如此（所以我感觉数学上各个领域都是通的）。当然有了拓扑就会去介绍一些比较经典的拓扑空间，乘积拓扑、商拓扑、箱拓扑等等，这些在当时看来完全不能理解，现在看来，其实也没有很难。此外，在拓扑中，我们还能定义网这个概念，类似于微积分中的数列，那由微积分中数列的一些性质也可以推广到拓扑中的网，当然网的性质会比单纯的数列更好。再往后，从介绍紧集、T0到T4空间开始难度就上来了，紧集的性质特别特别多且证明起来并不容易，但它又是一个很重要的概念。然后还会有局部紧、紧致化、单点紧致化等等概念，把它们混在一起让初学的我还有点懵逼，尝试克服它们。最后拓扑中也会有群的概念（真是啥都能往拓扑上靠），但我想缓一缓再继续，慢慢来吧。