[双语字幕] 史上最好的群论入门

“不必多考虑它的中性元和逆元”的意思是：

比如在Z6（循环群，有限群）中，我们生成2的子群，会顺其自然地得到这个子群的中性元和逆元。而在Z（整数群，无限群）中，我们生成2的子群，不会得到这个子群的中性元和逆元，因为2会生成{2,4,6, ...}而生成不了逆元{-2,-4,-6, ...}，也生成不了中性元“0”。现在作者的问题就是：希望你在某个无限群中找到一个元素，使得你生成的子群可以同时包含到单位元和逆元，而无需像上面那个“偶数子群”一样额外去添加中性元和逆元。

关于这个问题，作者给出的答案是：

有理数乘法群里的<-1>

因为<-1>的生成子群是｛-1，1｝，这个子群的单位元是“ 1 ”，每个元素也都拥有它的逆元（-1 的逆元是 -1，1 的逆元是1 ），无需额外添加任何元素就满足了条件。

译者的一点想法：

其实这个问题的破题点就是，找到了一个循环的特征。1乘-1会得到-1，-1乘-1又会得到1，这种在正负之间反复循环的特征，其实是“-1”这个元素在乘法运算里独有的。换作是加法群，或者是乘法群里的其它元素，都不可能做到这种效果。

这种情况可以泛化吗？它还有可能在其他地方出现吗？这个我暂时想不出来。