量子场论（三）：实标量场的正则量子化、平面波展开

若场是一个洛伦兹标量，那么它就是标量场。在固有保时向洛伦兹变换下，若时空坐标的变换为则标量场的变换形式是：

实标量场满足自共轭条件：

进行量子化之后，实标量场是一个厄米算符。

不参与相互作用的自由实标量场的拉格朗日量密度为：

或：

其中是实标量场的质量。拉格朗日量密度的第一项称为动能项，第二项称为质量项。由于：

所以：

总结起来就是：

把这些结果代入到欧拉-拉格朗日方程中去，可得到标量场满足如下的克莱因-高登方程：

这个方程还有其他的形式，不过只是写法上的不同，没有本质区别：

实标量场对应的共轭动量密度为：

那么实标量场的哈密顿量密度表示为：

现在，把实标量场与动量密度都看作算符，则等时对易关系为：

这种做法叫正则量子化。

在量子力学中，单粒子波函数的平面波解为：

由于：

可见，能量与动量算符分别为：

组合起来，四维动量算符是：

平面波解可表达为则：

也就是说，这个平面波解描述四维动量为的粒子。

现在在量子场论中讨论。设实标量场具有平面波解：

则有：

为了满足这个条件，要求：

其中：

从而，克莱因-高登方程有两种平面波解，分别是的正能解：

和的负能解

从而，满足克莱因-高登方程的场算符的一般解为（这里做了傅里叶展开，把场算符展开成无穷多个）：

其中和都是只依赖于的算符，是归一化因子。

取一下厄米共轭，得到：

因此，实标量场的自共轭条件，要求：

因而：

令为粒子的动量则有：

其中是正的，满足质壳条件：

即

是湮灭算符，对应于正能解，是产生算符，对应于负能解。

共轭动量密度的平面波展开为：