【菲赫金哥尔茨微积分学教程精读笔记Ep20】数字革命：新纪元开始
宝宝们，老碧又来了，今天我们要聊的话题，可是《数学分析》课程中遇到的第一个极其有趣且有用的定理哦！
如果说，对于无理数的定义我们只需要有一个“我去，真牛逼”的感性认知，那么对这个定理，我们可就有的忙了！——
首先，我们要将它，翻过来，倒过去地用不同方法证明来，证明去；
其次，我们还得去用它一而再，再而三地去证明许多其他有用的定理；
最后，在我们聊到更高维度的时候，我们还要去学习高维空间中的这个定理——
可以说，这真是个狼定理啦！哈哈哈，开玩笑，其实是很可爱的一个定理啦。
在此之前，我们先解决上一次遗留的一个小问题，老碧漏讲了——
在第10节的最后，书上对“实数分划”的一点补充，我们上次证明了，“实数分划”不存在上下组都没有最值的类型；书上指出“实数分划”也不存在上下组都有最值的类型。即，不存在这种“实数分划”，上组有最小值，下组有最大值，思路如下——
用反证法——
假设“实数分划”下组有最大数是实数，上组有最小数也是实数；——假设
“实数分划”下组任意数小于上组任意数，所以下组最大数小于上组最小数；——定义
由实数的“强稠密性”——任意两个实数之间存在有理数——得到，下组最大数和上组最小数之间存在有理数，即实数，故而，这两组数没有覆盖所有实数，与“实数分划”定义矛盾，证毕。
所以，“实数分划”——既不存在上下组都没有最值的类型；也不存在上下组都有最值的类型。所以说，一个“实数分划”会有唯一的“界数”，且界数必然是上组或下组的最值——一个实数，故而“实数分划”与实数实现形式统一的一一对应，即，有理数之间的空隙被实数填充，实数是具有“完备性”或者说“连续性”的。
还记得我们说过，“完备性”是“实数”完全不同于“有理数”的一个性质吗？
——所以，由此可以导出许多“实数”独有的定理，比如我们今天要聊的“确界原理”。
11数集的界
忽然想起来，中国科学技术大学出版社的《高等数学导论》——比起普通的“高数”教材，在理论上要稍微深一点，就是以“确界原理”作为开篇的。
书上先定义了，什么叫做“数集的界&确界”——
如果对于一个数集来说，存在一个数M，使得这个数集中的任何数都比M小，则M是这个数集的上界——比如，10大于sin n（n为所有自然数）组成的集合S，10就是S的上界，同理，所有大于10的数都是S的上界，显而易见，（由阿基米德公理）上界是有无穷多个的；
类似的，对于一个数集来说，存在一个数m，使得这个数集中的任何数都比m大，则m是这个数集的下界——比如，0小于1/z（z为所有正整数）组成的集合Z，0就是Z的下界，同理，所有负数也是Z的下界，显而易见，（由阿基米德公理和正数负数的对称性）下界是由无穷多的；
广义的上界和下界可以包含“无穷大”——众所周知，无穷大有三种：正无穷大，负无穷大，无穷大——在数集的界中我们只使用到前两种。
特别的，最小的上界称为“上确界”，最大的下界称为“下确界”。
显然，这两个数是很具有特殊意义的，比方说，有上界的数集，上界显然没有最大值，那么最小值的存在性就值得思考了。
于是就引出了一个自然的讨论，一个有有限上界的数集是否一定有上确界？
答案是肯定的，也就是我们要聊的“确界原理”，这个定理的证明方法也有很多，书上采用“实数分划”的方法——
具体的证明，我们先买个关子，下期不见不散！
