数理方程来了||数理方法

//前面六章是复变函数与积分变换的主要内容。

//现在开始下半篇数学物理方程了

//开学之后生产力急剧下降

//但是这个学期应该是能更完的

7.1 数学物理方程的导出

有许多物理模型，描述它们的方程具有类似的形式。以下将导出一些经典物理模型中的微分方程，并将它们分为三大类：波动方程、输运方程与稳定场方程。

7.1.1 波动方程

波动方程广泛出现在弹性力学、电磁学、力学等学科的相关模型中，它通常具有以下形式：

如果存在波源，则波动方程为：

其中，是拉普拉斯算符，根据模型的实际情况可能是1至3维。为波速。一维波动方程通常写为

其实上面这种写法是数理方法书上的...我个人还是更习惯下面的写法：

或者

这些也是大部分物理书籍、论文里波动方程的常见形式。波速为.

例如，在电磁学中，有电磁势满足的波动方程：

弹性力学中，固体中的 纵波与横波都满足波动方程，波速分别是

分别是材料的杨氏模量和切变模量。

再如张力为，线密度的弦上，微小的横振动也满足波动方程，波速为

再如理想传输线(我们以此为例展示方程的推导过程)：

设有平行导线，电阻和电磁波辐射忽略。二者之间单位长度的电容，单位长度电感为.

仅考虑两线上电荷线密度与电流均等大反向的对称情况，则根据电流连续性有

再由电容电感的定义，可得

由上两式，得到

前式对微分，后式对微分，得到

这是一维波动方程，波速为.

有趣的是，电容、电感这样的参数应当是完全由传输线的形状与空间相对位置决定的，并且根据各自的定义有各自不同的求法，但我们在这里可以断言它们的关系一定是

其中是光速。这是因为，电线的传输速度当然应该是光速。

7.1.2 输运方程

输运方程的形式通常是

它出现在热传导与扩散的模型中，在两种模型中分别是温度、扩散物浓度。这里只简单解释各项的含义：对时间一阶微分项代表这一点强度随时间的变化速率；一项描述这一点受到周围的影响；右边则是这一点的源强度。

7.1.3 稳定场方程

静电场、静磁场都满足稳定场方程。经典的泊松方程就属于稳定场方程，形如

可以描述静电场电势、稳定温度场、稳定浓度场、稳恒电流场等模型。

如静电场的泊松方程：

稳恒电流场中也有类似的方程：

对于存在热源的稳定温度场，也有

许多模型都有相近的数学结构。

7.2 定解条件

除了决定系统的微分方程，我们还需要定解条件来确定系统物理参量与时间、空间的函数关系。定解条件分为三种：初值条件、边界条件、衔接条件。

以下将以实例说明几种定解条件：

场景1：弦张力，线密度，一端固定于，在处固定了质量为的质点。令表示横向位移，处是自由端，输入入射波.

这个场景中出现了以下的定解条件：

① 处被固定，所以恒有；处有入射波，所以.

这被称为第一类边界条件：直接规定所研究物理量在边界上的值。

② 初始时刻，弦的各点位置被称为初值条件：规定时整个系统的状态。

③ 在质点所在的位置，由于质需受力产生加速度，在这一点出现了的偏导不连续的情况。在该模型中质点的运动方程可以写为：

这被称为衔接条件，联系了不连续的质点两侧。

场景2：质量不可忽略，长度，劲度系数线密度为的弹簧，右端有质点，左端是自由端。令表示弹簧上某质点相对初始位置的偏移。同时质点处于力场中。

我们可以证明弹簧上某点的张力可以写为. 

 ① 由于自由端不受外力，有

这被称为第二类边界条件，给出所研究物理量在边界法线方向上的导数。

 ② 质点受力，可列出运动方程：

这被称为第三类边界条件，给出所研究物理量及其在边界法线方向导数的关系。

7.3 数理方程分类

首先，形如

被称为线性二阶偏微分方程。这是本课程重点研究的对象。

我们考虑两个自变量的情况，分类并化为标准形式。

这是此类方程的一般形式。作自变量代换：

（代换的雅可比行列式.）

我们可以证明，变量代换后微分方程将化为新变量的二阶线性偏微分方程

变换前后方程各项系数满足关系：

（书上这一段的完整推导过程看起来真的非常恐怖，但是我们只要知道其中变量代换的原理就行了，剩下都是体力活）

我们只要合理地选取就可以简化变换后的方程。例如，我们注意到，如果令方程

的特解为，就可以使，从而完成简化。

而上面这个方程可以化为常微方程。设有曲线族，则有

再根据前面方程化为

所以曲线族满足

所以方程给出2个曲线族，分别对应.

再根据上式根号内对偏微分方程分类：

以上几类方程经过的变量代换之后，均可以化为标准形式。

双曲型的标准形式：

而如果再令 则可以得到另一标准形式：

例如，波动方程就属于双曲型方程。根据前面理论，如果令，则方程就可以化为:

其通解是，为任意函数。从这个解就很容易看出作为“波速”的实际意义。

抛物型的标准形式：

取满足，而不满足上式，可以证明抛物型的标准形式是

椭圆型的标准形式：

除去一个负号外，椭圆型和双曲型应当是一样的：

但是这一次变为复共轭的。为简化，取，得到

（先写这么多吧，这一章开始越来越麻烦了...以后不一定一篇笔记对应书上一章了）

参考文献

[1] 梁昆淼. 数学物理方法（第四版）[M]. 北京：高等教育出版社，2009.8，107~134.