二阶常系数线性微分方程解
前言
由于经常计算电路响应，其电路模型经常出现二阶常系数线性微分方程（下文简称“二阶微分方程”或“微分方程”）。为减少重复工作，此处给出微分方程解析解，有实际问题时按需代入具体数值取结果即可。
微分方程解
1-微分方程
对于二阶弹簧阻尼振荡系统，或者LRC振荡电路，可列出其微分方程：
为了便于后文计算，此处定义一些符号：
由此，对二阶微分方程简化，并求出其拉普拉斯变换。其中y(0)为初始值，y'(0)为导数初始值：
2-零输入响应
计算零输入响应时，令f(t)=0：
3-零状态响应——冲激响应
令y(0)=0和y'(0)=0，输入f(t)为单位冲激信号时：
4-零状态响应——阶跃响应
令y(0)=0和y'(0)=0，输入f(t)为单位阶跃信号时：
注：式子的简化是“有损”操作（arctan），即丢失了一些信息。所以简化式只在满足一定条件下使用，故保留简化前原式子。
5-阶跃响应关键参数
阶跃响应中有几个关键参数，其中有：
1、上升时间tr，曲线从稳态值的10%到90%所需的时间；
2、峰值时间tm，曲线超过稳态值并达到第一个峰值的时间；
3、调节时间ts，曲线进入稳态值±2%区间的时间；
4、超调量Ov，曲线最大峰值与稳态值之比（%）。
注：使用约等于号「≈」的式子是计算机迭代求解+回归分析得出的，非精确解。
6-零状态响应——正弦响应
令y(0)=0和y'(0)=0，输入f(t)为单位正弦信号时：
7-零状态响应——余弦响应
令y(0)=0和y'(0)=0，输入f(t)为单位余弦信号时：
8-正/余弦阻尼振荡响应关键参数
阻尼振荡响应有几个关键参数，其中有：
1、稳态振幅Amp；
2、稳态相角Angle；
3、共振振幅Amp_r；
4、共振频率ωr。
9-全响应
全响应为「零输入响应」+「零状态响应」。零输入响应为系统在原有的初始能量下自然响应，也叫齐次响应；零状态响应为系统在零初始能量下，由外加的输入引起的响应，也叫强迫响应。当系统为线性系统时，全响应则为两者效果的叠加。随着时间t推移，自然响应会逐渐趋于0，只剩下强迫响应（中的稳定参数）。
微分方程的导数解
1-微分方程
对于二阶弹簧阻尼振荡系统，或LRC振荡电路，前文算出的微分方程解一般代表「位移」或者「电荷」（位移隐含了力，电荷隐含了电压，差了个系数）。对其解求一阶导数后，解的物理意义发生变化，一般代表「速度」或者「电流」。现在求解：
同样为了方便计算，定义以下符号：
由此简化二阶微分方程，并求出其拉普拉斯变换：
式子和之前的几乎一样，不过出现了新的初始值「y''(0)」。实际上，y''(0)的值是和y(0)有关联的。通过以下计算就可得到，并重新整理拉普拉斯变换式：
2-零输入响应
根据新的拉普拉斯变换式得出的式子，和之前的式子直接求导得出的是一样的：
3-零状态响应——冲激响应
冲激响应可以认为“瞬间给予速度”，其式子几乎与y'(0)=1的零输入响应一样：
4-零状态响应——阶跃响应
由于阶跃信号的导数为冲激信号，所以“速度”的阶跃响应跟“位移”的冲激响应式子完全一致：
5-零输入响应——正弦响应
由于正弦求导即为余弦，所以“速度”的正弦响应与“位移”的余弦响应相似。注意由于求导会产生频率ω，两者式子还是有区别：
6-零输入响应——余弦响应
余弦响应求解跟前面三者不同，因为t=0时cos(0)=1，而前三者是=0。注意系统一般是因果系统，所以式子都是在t≥0时才有效，而在t<0时一律等于0。所以余弦在t=0的位置是个间断点，是突然加载到系统的，其【完整】的表达式为f(t)=cos(ωt)*u(t)，对f(t)求导后，除了cos(ωt)求导产生的-ωsin(ωt)项外，还会带上一个冲激函数δ(t)，即余弦响应为正弦响应的-ω倍再加上一个冲激响应：
7-正/余弦阻尼振荡响应关键参数
阻尼振荡的“速度”响应与“位移”响应有一点不同，同样计算这几个关键参数：
1、稳态振幅Amp；
2、稳态相角Angle；
3、共振振幅Amp_r；
4、共振频率ωr。
可以发现，“速度”共振频率与“位移”共振频率不一样。“速度”共振的最大值总在固有频率ωn上，而“位移”共振频率比ωn偏低，并且ζ小于0.707后才会出现。
微分方程解函数图像
此处给出部分微分方程解函数，ωn=1、ω=2，ζ取不同值画在同一坐标系中，已标注图例。画图软件：MATLAB。
微分方程Simulink模型
此内容适用于计算机仿真，非手算。
由于计算机适合做积分，所以把微分方程式子调整下（注：a1已隐含在f(t)中），即可得：
根据公式即可搭出仿真模型：
后记
文中的公式大部分手算推出，总计耗费25张A4草稿纸以及2个星期的时间，并使用计算机软件「GeoGebra」、「MATLAB」、「Excel」进行正确性检验（以及一些方程的回归分析）。本人尽力保证公式正确，但难免百密一疏，若读者发现错误，欢迎指出错误之处。（完）
by HD-nuke8800
2022/4/7
附录
以下为MATLAB绘制函数图像代码：
1、微分方程解「
」
2、微分方程导数解「
」
3、绘制函数图「
」
