2 世纪之交的法国数学领袖——庞加莱

　　19世纪前期的法国，柯西是无可争辩的数学领袖. 1857年柯西去世之后，世界数学中心渐渐向德国转移.数学天平逐渐向德国倾斜是和19世纪末的德国社会经济发展相关的.以下是19世纪下半叶各主要工业国家工业产值由高到低的排名：

60年代 英,法,美,德

70年代 英,美,法,德

80年代 英,美,德,法

90年代 美,德,英,法

尽管工业产值和数学发展不见得成正比，但是也不能说毫无关系.

　　然而，在世纪之交，世界数学界仍然是法德争雄的格局. 法国数学仍然有许多骄人的成绩,埃尔米特(Charles Hermite, 1822~1901)、若尔当(Camille Jordan, 1838~1922) 以及达布(Jean-Gaston Darboux, 1842~1917)等是主要的代表人物.待到庞加莱(Jules Henri Poincare, 1854~1912)出现在法国数坛,就很快成为世界性的领袖人物.巴黎高等师范学校和巴黎综合工科学校仍然是世界数学家的摇篮.

　　埃尔米特毕业于巴黎综合工科学校. 1862年进入该校任讲师，1867年升任教授. 他的早年工作涉及椭圆函数论. 以后的著名工作是证明了e的超越性，这使他享有分析学家的声誉，但就他对后世的影响而言，还是关于复二次型的工作最为重要. 在物理学、几何学、算子理论中，埃尔米特已成为复共轭、复对称的代名词.

　　若尔当也是巴黎综合工科学校的学生，一直以工程师的身份做数学研究，同时在巴黎综合工科学校和法兰西学院任教. 1881年成为法兰西科学院院士.他作为代数学家，首先关注伽罗瓦的群论，成为第一个在伽罗瓦基础上做系统研究的数学家，也是使伽罗瓦理论通俗化的先驱.他在群和群表示理论上的开创性工作，是日后代数发展的起点. 1870年，克莱因和索福斯·李一起来到巴黎，和若尔当一起研究三维空间中所有运动群的确定，显然这是连续群研究的先声. 今天，若尔当的名字更多地和分析学中的若尔当曲线、矩阵论中的若尔当标准型、积分论中的若尔当容量联系在一起.

　达布则是在巴黎高等师范学校完成学业，并在该校任教的数学家.他的主要工作领域是微分几何. 他详细研究曲面理论、曲线坐标、曲线和曲面的变形等基本问题. 他所著的《曲面通论教程》是一部研究力学、变分法、偏微分方程、极值原理等学科的工具书，他对这些学科之间的内部联系有着非常深入而透彻的理解，成为一时的经典. 同样，达布的影响不限于几何. 他在积分论中研究黎曼可积的充分必要条件，给出的现在称为上和、下和、上积分、下积分、达布和等概念，已经成为一种经典的理论.

　　综合以上的介绍，我们可以感觉到19世纪末期法国数学的气息：更着重于经典问题的深入刻画，注意几何、分析上的严密化，解决一些悬而未决的问题.相对于德国学派的工作，如克莱因的埃尔朗根纲领、康托尔的集合论、索福斯·李的连续群论、库默尔的代数数论等新方向、新思想的开拓，法国数学的发展似乎过分拘谨了.但是，庞加莱的出现，使法国数学出现了新的转机.

　　庞加莱诞生于法国的南锡(Nancy，这是法国科学精英的荟萃之地)，家族显赫. 父亲是一位生理学家，叔父是国家官员.堂弟雷蒙·庞加莱(Raymond Poincare)曾出任总理兼外交部长,1913~1920年间，是法兰西第三共和国的第九任总统.

　　庞加莱的童年生活很不幸.5岁患白喉，运动神经功能不协调.他平时行动笨拙，物理实验做不好是出了名的. 他视力不好，上课看不清黑板上的字，全凭耳朵听，常常显得心不在焉. 不过，这种记忆力的训练，使他以后能在头脑里完成数学计算和迅速撰写论文.他15岁进入巴黎综合工科学校，打算做一名工程师，但一有空就研究数学. 1878年，他向法兰西科学院提交有关《微分方程一般解》的论文，次年即获得科学博士学位. 两年后的1880年，庞加莱成为巴黎大学教授，讲授力学和实验物理课程.此后的几十年，他一直在巴黎度过.

　　庞加莱一生写了约500 篇论文和30部著作，这还不包括他所写的畅销科普作品和哲学名著.由于他的杰出成就，庞加莱几乎赢得了法国政府所能给予科学家的一切荣誉. 在33岁那年，他被选为法兰西科学院院士，1906年任法兰西科学院院长，1908年， 当选为法兰西语文学院院士.由于他的通俗文章的文笔非常优美，甚至获得了法国作家中的最高荣誉 法国文学会会员.

　　数学史家评论说，庞加莱是一位科学的征服者，而不是殖民者.确实，他从不在自己开拓的领域内长期停留，而是继续大踏步前进，去征服更新的科学领域. 以下是一张由庞加莱开创的新领域的清单:

　　1.自守函数论.自守函数是通常三角函数、椭圆函数的推广.它的引入，使得微分方程、代数几何、代数数论找到了新的立足点.

　　2.整函数的“亏数”理论. 他第一个研究整函数“亏数”和函数值增长的关系，为以后的整函数与亚纯函数理论打开了道路.

　　3.有理数域上的代数几何学. 1901年的一篇论文开创了代数方程有理数解的研究，成为代数数论的一项原发性工作.

　　4.微分方程的定性理论. 这门崭新学科研究微分方程解在奇点附近的性态，根据极限环的情况可以判断解的稳定性.

       5. 动力系统理论. 开创动力系统理论研究，完成了现在称为“庞加莱回归定理”的工作.

　　6.三体问题.在三体中两个物体的质量比另一个小得多的情况下，得到三体问题的周期解.引进渐近展开的方法，得出严格的天体力学计算方法.

　　7.组合拓扑学，即“位置分析”.庞加莱引入流形的三角剖分、单纯形、复合形、关联系数矩阵等一系列新工具，以及贝蒂(Betti)数、挠系数、同调群等一系列新概念，证明了流形的同调对偶定理.这是同调论的开端.此外，又定义流形的同伦群，现称为庞加莱群.在20世纪获得长足发展的代数拓扑学完全是按照庞加莱的思想展开的.

         8.对狭义相对论的创立有独到的贡献.

　　除了这些开拓新领域的工作以外，庞加莱还有许多原创性的成果，对多复变函数论、李群、李代数、狄利克雷问题、拉普拉斯算子特征值问题等的研究都有关键性的推进.

　　庞加莱的远见是令人钦佩的.他能够理解索福斯·李的工作，并投入很高的研究热情. 1899年用新的方法证明了索福斯·李的第三基本定理，引入李代数的包络代数概念. 此外庞加莱也是最先认识埃里·嘉当(Elie Joseph Cartan, 1869~1951)工作的重要性的人.在世纪之交时，拓扑学、李群、李代数以及嘉当的几何工作还是冷门，少人问津，更为大多数以研究函数论等传统分析为主的法国数学家所轻视. 但是，进入20世纪之后，这些学科都大放异彩，成为数学发展的核心部分.

　　庞加莱还有一批重要的哲学著作，如《科学与假设》(1902)、《科学的价值》(1905)、《科学与方法》(1909). 他是约定主义的代表人物，认为科学公理是为了人们的表述方便而共同约定的. 约定可以选择，但要有实验事实为根据，避免出现矛盾. 在数学基础上持直觉主义观点，反对罗素的逻辑主义、希尔伯特的形式主义，不承认实无限，只认可潜无限. 庞加莱主要是一个数学家，但或许在物理学和哲学上的工作更为一般人所知.关于他的哲学思想，列宁曾说他是“一位伟大的物理学家，渺小的哲学家”.[2]

　　尽管庞加莱获得了最高的学术荣誉，也受到科学界的高度赞扬，但是一些传统的数学家并不完全支持他.分形几何学的创始人芒德布罗(Benoit B. Mandelbrot: 1924~ )在 1994年的一篇文章中这样提到庞加莱：

　　“在最近发表的埃尔米特(庞加莱的导师)给米塔格-列夫勒(Magnus Gustaf Mittag-Leffler, 1846~1927)的信中，埃尔米特常常抱怨庞加莱不听好意的劝告，不修饰证明和不发表严格的证明.埃尔米特和皮卡(Charles EmilsPicard, 1856~1941, 庞加莱后来的导师)认为庞加莱是不可救药的，于是就不让庞加莱教数学，只让他教数学物理、天文学. 在庞加莱发表的演讲录中包括基础光学、热动力学、电磁学——二年级或三年级的理论物理课.庞加菜在1895年发表的《位置分析》(今称拓扑学)，在相当一个时期内被认为是‘死胡同’.”[3]

　　作为直觉主义者的庞加莱，在发表论著时也许没有达到当时某些数学家所要求的严密性. 但是，历史证明，庞加莱做得是对的.如果为了追求不十分必要的严密性，而把重要的拓扑学思想丢弃在字纸篓里，那对数学的进展将是多大的损失！

参考文献

[1] Dieudonne J. Poincare. In: Gillispie C C. Dictionary of ScientificBiography. New York: Charles Scribner's Sons Publishes, 1981

[2]列宁.唯物主义和经验批判主义.见：列宁选集(第二卷). 第二版.北京:人民出版社, 1972. 166

[3] Mandelbro t B. Response to “Theoretical Mathematics”. Bul-letin of AMS, 1994. 30(2): 195