泰勒公式，39分钟，小白也直接上手！|高等数学

Kira | 3-1 泰勒公式

1️⃣泰勒公式的推导

任务：确定系数aᵢ

确保：f(x)和多项式函数Pn(x)在x₀的函数值，直到n阶导数值相等.

f(x) =f(x₀) +一阶导/一阶乘 *差值¹ +二阶导/二阶乘 *差值² +n阶导/n阶乘*差值ⁿ

2️⃣泰勒公式的理解

泰勒中值定理1

泰勒中值定理2

f(x)在包含x的区间(a,b)内有直到n+1阶的导数，在(a,b)展开拉格朗日余项的泰勒公式，要展到n阶，剩下一阶给余项，余项展到n+1阶

Kira点睛

两个泰勒中值定理的主要区别如下：

（1）成立条件不同，中值定理2对f(x)的可导性要求更高.

（2）x的取值范围不同，中值定理1需满足x→x₀，仅适用于求极限问题，而中值定理2中x可在符合条件的区间[a,b]上任取，甚至能取到任意实数，因此中值定理2更广泛地适用于证明题和近似计算问题.

（3）余项Rₙ(x)形式不同，佩亚诺余项便于求极限，而拉格朗日余项能具体估算近似误差的大小.

3️⃣常考泰勒公式带背

x₀=0：麦克劳林公示

4️⃣泰勒公式的核心考点

• 带有拉格朗日余项的二阶泰勒公式：展到二阶，第三阶给余项
• 第一步：写泰勒公式
• 第二步：求导
• 第三步：代入

• 间接法用已经背过的麦克劳林公式写
• 乘过去，注意到n阶就结束了
• 注意别忘写：ξ在1与x之间

• 推荐间接法，里面的内容找已经背过的公式

• 按(x-2)的幂展开 =x₀=2 
• 未知的f(x)要往背过的公式靠拢
• 最后变变形