【种花家务·代数】1-1-13有理数的乘法『数理化自学丛书6677版』

2023-09-12 14:42 作者:山嵓 0人读过 | 我要投稿

【阅前提示】本篇出自『数理化自学丛书6677版』，此版丛书是“数理化自学丛书编委会”于1963-1966年陆续出版，并于1977年正式再版的基础自学教材，本系列丛书共包含17本，层次大致相当于如今的初高中水平，其最大特点就是可用于“自学”。当然由于本书是大半个世纪前的教材，很多概念已经与如今迥异，因此不建议零基础学生直接拿来自学。不过这套丛书却很适合像我这样已接受过基础教育但却很不扎实的学酥重新自修以查漏补缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我写的注解。

【山话嵓语】我在原有“自学丛书”系列17册的基础上又添加了1册八五人教中学甲种本《微积分初步》，原因有二：一则，我是双鱼座，有一定程度的偶双症，但“自学丛书”系列中代数4册、几何5册实在令我刺挠，因此就需要加入一本代数，使两边能够对偶平衡；二则，我认为《微积分初步》这本书对“准大学生”很重要，以我的惨痛教训为例，大一高数第一堂课，我是直接蒙圈，学了个寂寞。另外大学物理的前置条件是必须有基础微积分知识，因此我所读院校的大学物理课是推迟开课；而比较生猛的大学则是直接开课，然后在绪论课中猛灌基础高数（例如田光善舒幼生老师的力学课）。我选择在“自学丛书”17本的基础上添加这本《微积分初步》，就是希望小伙伴升大学前可以看看，不至于像我当年那样被高数打了个措手不及。

第一章有理数

§1-13有理数的乘法

1、两个有理数的乘法

【01】我们来看下面的问题：

【02】问题1.一列火车在东西方向的铁路上行驶，速度是每小时 40 公里.如果中午的时候恰巧经过甲车站。问在与中午相距 3 小时的时候，它离开甲车站多少公里？

【解】我们知道，这个问题可以用乘法来解决，就是：速度×时间＝路程。40×3＝120……(1) 。答：离开甲车站120公里。

【03】在这个问题里，没有指出火车究竟是向哪一个方向行驶，也没有指出这个时间究竟是在中午以前还是中午以后，所以我们计算出来的结果，也只能知道火车离开甲车站的公里数，而还不知道火车究竟在甲车站的东边还是西边。

【04】如果要确切地知道火车在所问的时间究竟在哪里，那末就需要知道火车行驶的方向，是向东还是向西，所问的时间是在中午以前还是在中午以后。在这种情况下，我们就需要用有理数的乘法来解决这个问题。

【05】我们规定从西到东的方向作为正方向，那末火车从西到东行驶的速度就可以用正数来表示，从东到西行驶的速度，用负数来表示。

【06】例如：每小时向东行驶 40 公里，记做每小时＋40 公里；每小时向西行驶 40 公里，记做每小时－40 公里。

【07】火车在甲车站东边时，这段路程可以用正数来表示，在西边时，这段路程就用负数来表示。

【08】例如：在东边 120 公里，记做＋120 公里；在西边 120 公里，记做－120 公里。

【09】对于时间来说，我们也可以作这样的规定，以中午时间为标准，午后的时间用正数来表示，午前的时间用负数来表示。

【10】例如：午前 3 小时，记做－3 小时；午后 3 小时，记做＋3 小时。

【11】现在，我们来研究问题 1 里的各种可能情况：

【12】问题2.火车以每小时 40 公里的速度从西向东行驶，中午经过甲车站，问午后 3 小时，火车在甲车站的哪一边？离开甲车站几公里？

【解】从下面的图可以看到，这时火车应该在甲车站的东边 120 公里。（就是离开甲车站＋120 公里）。这里速度是每小时＋40 公里，时间是＋3 小时。∴ 速度×时间是(＋40)×(＋3) 公里。这段路程是＋120公里。我们得到算式：(＋40)×(＋3)＝＋120……(2)。答：在甲车站东边 120 公里。

【13】问题3.火车以每小时 40 公里的速度，从东向西行驶，中午经过甲车站。问午后 3 小时，火车在甲车站的哪一边？离开甲车站几公里？

【解】从下图可以看到，这时火车应该在甲车站的西边 120公里。（就是离开甲车站－120 公里）。这里速度是每小时－40 公里，时间是＋3 小时。速度×时间是(－40)×(＋3) 公里。这段路程是－120公里。我们得到算式：(－40)×(＋3)＝－120 ……(3)。答：火车在甲车站西边 120 公里。

【14】问题4.火车以每小时 40 公里的速度，从西向东行驶，中午经过甲车站.问午前 3 小时，火车在甲车站的哪一边？离开甲车站几公里？

【解】从下图可以看到，为了要火车在中午到达甲车站，午前 3 小时的时候火车应该在甲车站西边 120 公里。（就是离开甲车站－120公里)。这里速度是每小时＋40 公里，时间是－3 小时。速度×时间是(＋40)×(－3) 公里。这段路程就是－120公里。我们得到算式：(＋40)×(－3)＝－120……(4)。答：火车在甲车站西边 120 公里。

【15】问题5.火车以每小时 40 公里的速度，从东向西行驶，中午经过甲车站。问午前 3 小时，火车在甲车站的哪一边？离开甲车站几公里？

【解】从下图可以看到，为了要火车在中午到达甲车站，在午前 3 小时的时候，火车应该在甲车站东边 120 公里。（就是离开甲车站＋120公里）。这里速度是每小时－40 公里，时间是－3 小时。速度×时间是(－40)×(－3) 公里。这段路程是＋120 公里。我们得到算式：(－40)×(－3)＝＋120……(5) 。答：火车在甲车站东边 120 公里。

【16】从上面问题2~问题5的解答中，可以发现一个重要的事实。在(2)和(5)里，我们做的是两个符号相同的有理数的乘法，我们看到：符号相同的两个有理数相乘，它们的积应该是一个正数积的绝对值就是两个因数的绝对值的积。

【17】在(3)和(4)里，我们做的是符号相反的两个有理数的乘法，我们看到：符号相反的两个有理数相乘，它们的积应该是一个负数，积的绝对值等于两个因数的绝对值的积。

【18】很明显的，在上面的问题里，如果速度和时间中有一个是零，或者两个都是零，那末火车仍旧在甲车站。也就是说，火车离开甲车站的距离是零。这就说明了：任何一个有理数和零相乘，积是零。例如：(＋40)×0＝0，0×(＋3)＝0，(－40)×0＝0，0×(－3)＝0，0×0＝0 。

【19】把上面这些情况综合起来，我们得到有理数的乘法法则：

【20】(ⅰ)正负符号相同的两个数的积是一个正数，它的绝对值等于这两个数的绝对值的积；

【21】(ⅱ)正负符号相反的两个数的积是一个负数，它的绝对值等于这两个数的绝对值的积；

【22】(ⅲ)零同任何一个数的积总等于零。

【23】为了便于记忆，我们把上面(ⅰ)、(ⅱ)两条法则，概括起来，得到决定积的符号的口诀：同号相乘得正数，异号相乘得负数。

例1.计算：

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Beqnarray%7D%26%26(1)(%2B12)%5Ctimes(-16)%3B%5Cquad%26(2)(-10)%5Ctimes%5Cleft(%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cright)%3B%5C%5C%26%26(3)(-3)%5Ctimes(-0.3)%3B%26(4)%5Cleft(-5%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cright)%5Ctimes%5Cleft(-3%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5Cright)%3B%5C%5C%26%26(5)(0)%5Ctimes(-16)%3B%26(6)(-3.5)%5Ctimes%5Cleft(%2B1%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5Cright).%5Cend%7Beqnarray%7D$

【解】

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Beqnarray%7D%0A(1)%26%26(%2B12)%5Ctimes(-16)%3D-192%3B%5C%5C%0A(2)%26%26(-10)%5Ctimes%5CBig(%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5CBig)%3D-5%3B%5C%5C%0A(3)%26%26(-3)%5Ctimes(-0.3)%3D0.9%3B%5C%5C%0A(4)%26%26%5Cleft(-5%5Cfrac12%5Cright)%5Ctimes%5Cleft(-3%5Cfrac13%5Cright)%3D%5Cleft(-%5Cfrac%7B11%7D2%5Cright)%5Ctimes%5Cleft(-%5Cfrac%7B10%7D3%5Cright)%3D%2B%5Cfrac%7B55%7D%7B3%7D%3D18%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%3B%5C%5C%0A(5)%26%26(0)%5Ctimes(-16)%3D0%3B%5C%5C%0A(6)%26%26(-3%2C5)%5Ctimes%5Cleft(%2B1%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5Cright)%3D%5Cleft(-%5Cfrac%7B7%7D%7B2%7D%5Cright)%5Ctimes%5Cleft(%2B%5Cfrac%7B4%7D%7B3%7D%5Cright)%3D-%5Cfrac%7B14%7D%7B3%7D%3D-4%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D.%0A%5Cend%7Beqnarray%7D$

习题1-13(1)

做下列乘法(1~12)：

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%261.(%2B5)%5Ctimes(-8).%26%26%202.(-5)%5Ctimes(-7).%20%5C%5C%0A%263.(-12)%5Ctimes(%2B17)%26%26%204.(-8)%5Ctimes%5Cleft(-%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7D%5Cright).%20%20%5C%5C%0A%26%205.(%2B3%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D)%5Ctimes%5Cleft(-5%5Cfrac%7B1%7D%7B7%7D%5Cright).%20%26%26%206.(-0.4)%5Ctimes(-0.2).%20%5C%5C%0A%26%207.(-3.125)%5Ctimes(%2B8).%20%26%26%208.(-0.1)%5Ctimes(-0.1).%20%20%5C%5C%0A%269.(%2B3.732)%5Ctimes0.%26%26%2010.%5C%3B0%5Ctimes(-3).%20%20%5C%5C%0A%2611.(-0.625)%5Ctimes(%2B16).%26%26%2012.(-7.23)%5Ctimes(%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D).%20%0A%5Cend%7Baligned%7D$

计算(13~16)：

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Beqnarray%7D%26%2613.(-5)%5Ctimes(-3)%2B(%2B7)%5Ctimes(-2).%5C%5C%26%2614.%5Cleft(%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cright)%5Ctimes%5Cleft(-%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%5Cright)-%5Cleft(-1%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cright)%5Ctimes%5Cleft(-1%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5Cright).%5C%5C%26%2615.(3.54-5.28)%5Ctimes(-2).%5C%5C%26%2616.%5Cleft(6%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D-8%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%5Cright)%5Ctimes%5Cleft(%2B1%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cright).%5Cend%7Beqnarray%7D$

【13、1；14、 $%5Cscriptsize-2%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%20$ ；15、48；16、 $%5Cscriptsize-2%5Cfrac%7B7%7D%7B8%7D%20$ 】

2、三个或三个以上有理数的乘法

例2.计算：(1)(－3)×(＋5)×(－2)；(2)(－1)×(－5)×(＋3)×(－4)×(＋2) 。

【解】依照由左向右的顺序进行：

(1)(－3)×(＋5)×(－2)＝(－15)×(－2)＝＋30；

(2)(－1)×(－)×(＋3)×(－4)×(＋2)＝(＋5)×(＋3)×(－4)×(＋2)＝(＋15)×(－4)×(＋2)＝(－60)×(＋2)＝－120 。

【注意】(1)里有两个负数，乘积是正数；(2)里有三个负数，乘积是负数。我们也可以先把各因数的绝对值相乘，再根据负号的个数是偶数或者奇数，确定积是正的或负的。

【24】从上面的例子，我们可以看出：三个或者更多个有理数的乘法，可以由左向右逐一进行。但为了方便起见，我们也可以把三个或者更多个有理数的乘法，分为定性质符号与定绝对值两步，得到三个或者更多个有理数的乘法法则：

【25】(ⅰ)定正负符号：如果因数里的负号有偶数个（如两个、四个、六个……），那末所得的积是正数：如果因数里的负号有奇数个（如一个、三个、五个……），那未所得的积是负数。

【26】(ⅱ)定绝对值：把各因数的绝对值相乘，所得的积就是积的绝对值。

例3.计算：

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Barray%7D%7Bll%7D(1)%26(%2B2)%5Ctimes(-1)%5Ctimes(%2B3)%5Ctimes(-10)%5Ctimes(-4)%5Ctimes(-5)%3B%5C%5C(2)%26%5Cleft(%2B%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%5Cright)%5Ctimes%5Cleft(-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cright)%5Ctimes%5Cleft(-5%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5Cright)%5Ctimes%5Cleft(-1%5Cfrac%7B1%7D%7B5%7D%5Cright).%5Cend%7Barray%7D$

【解】

(1)这里有四个负号，积是正的。

∴ (＋2)×(－1)×(＋3)×(－10)×(－4)×（－5)＝＋(2×1×3×10×4×5)＝1200；

(2)这里有三个负号，积是负的.

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Bgathered%7D%0A%5Ctherefore%26%5Cleft(%2B%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%5Cright)%5Ctimes%5Cleft(-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cright)%5Ctimes%5Cleft(-5%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5Cright)%5Ctimes%5Cleft(-1%5Cfrac%7B1%7D%7B5%7D%5Cright)%20%5C%5C%0A%26%3D-%5Cleft(%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%5Ctimes%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Ctimes%5Cfrac%7B16%7D%7B3%7D%5Ctimes%5Cfrac%7B6%7D%7B5%7D%5Cright)%3D-%5Cfrac%7B32%7D%7B15%7D%3D-2%5Cfrac%7B2%7D%7B15%7D.%20%0A%5Cend%7Bgathered%7D$

习题1-13(2)

计算：

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%261.(-4)%5Ctimes(%2B96)%5Ctimes(-25).%20%5C%5C%0A%262.%5Ctext%7B%20(-6)%7D%5Ctimes(2.5)%5Ctimes(-0.04)%20.%20%5C%5C%0A%263.%5Cleft(-%5Cfrac56%5Cright)%5Ctimes(%2B2.4)%5Ctimes%5Cleft(%2B%5Cfrac35%5Cright).%20%5C%5C%0A%264.(%2B1.25)%5Ctimes%5Cleft(-4.%5Cfrac%7B1%7D%7B20%7D%5Cright)%5Ctimes(-8).%20%5C%5C%0A%265.%5Ctextbf%7B(%7D-8)%5Ctimes(-4)%5Ctimes(%2B25)%5Ctimes(-125).%20%5C%5C%0A%266.(-3.2)%5Ctimes(%2B2)%5Ctimes%5Cleft(-1%5Cfrac1%7B2%7D%5Cright)%5Ctimes(-6)%5Ctimes(-3.8).%20%5C%5C%0A%267.(-0.2)%5Ctimes(-0.2)%5Ctimes(-0.5)%5Ctimes(-0.5).%20%5C%5C%0A%268.(-8)%5Ctimes(-12)%5Ctimes(-0.125)%5Ctimes%5Cleft(-%5Cfrac13%5Cright)%5Ctimes(-0.001).%20%5C%5C%0A%269.%5Cleft(-1%5Cfrac12%5Cright)%5Ctimes%5Cleft(-1%5Cfrac13%5Cright)%5Ctimes%5Cleft(-1%5Cfrac14%5Cright)%5Ctimes%5Cleft(-1%5Cfrac15%5Cright)%5Ctimes%5Cleft(-1%5Cfrac16%5Cright)%5Ctimes%5Cleft(-1%5Cfrac17%5Cright).%20%20%5C%5C%0A%2610.(-0.1)%5Ctimes(-10)%5Ctimes(-0.01)%5Ctimes(-100)%5Ctimes(-0.001)%20%5Ctimes(%2B10000)%20.%0A%5Cend%7Baligned%7D$

【1、9600；2、0.6；3、-1.2；4、 $%5Cscriptsize40%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20$ ；5、-100000；6、218.88；7、0.01；8、-0.004；9、4；10、-10】

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习题1-13(1)

习题1-13(2)