【数学基础131】常微分方程：同济高等数学教材相关内容总结（三）

第三部分：《高等数学》上二阶线性微分方程的解的结构的四个定理的证明——

a.定理一——

如果函数y1（x）与y2（x）是方程y"+P（x）y'+Q（x）y=0的两个解，那么y*=C1y1（x）+C2y2（x）也是该方程的解，其中C1与C2是任意常数。

证明——

1. 已知函数y1（x）与y2（x）是方程y"+P（x）y'+Q（x）y=0的两个解，即

   y1"+P（x）y1'+Q（x）y1=0，

   y2"+P（x）y2'+Q（x）y2=0；

2. 由y*=C1y1（x）+C2y2（x），有

   y*"+P（x）y*'+Q（x）y*

   =[C1y1(x)+C2y2(x)]"+P(x)[C1y1(x)+C2y2(x)]'+Q（x）[C1y1(x)+C2y2(x)]

   =C1[y1"+P(x)y1'+Q(x)y1]+C2[y2"+P(x)y2'+Q(x)y2]=0，即y*也是该方程的解，证毕。

b.定理二——

如果函数y1（x）与y2（x）是方程y"+P（x）y'+Q（x）y=0的两个线性无关的特解，那么y=C1y1（x）+C2y2（x）就是该方程的通解，其中C1与C2是任意常数。

证明：同济书上没给证明我们暂时不聊，之后会在《常微分方程》内容中详谈。

c.定理三——

设y*（x）是二阶非齐次线性方程y"+P（x）y'+Q（x）y=f（x）的一个特解，Y(x)是该方程对应的齐次方程的通解，那么y=Y（x）+y*（x）是二阶非齐次线性微分方程的通解。

证明：

1. 将y=Y（x）+y*（x）代入方程y"+P（x）y'+Q（x）y=f（x），

   [Y（x）+y*（x）]"+P（x）[Y（x）+y*（x）]'+Q（x）[Y（x）+y*（x）]

   =[y*"+P（x）y*'+Q（x）y*]+[Y"+P（x）Y'+Q（x）Y]

   =f（x）+0

   =f（x），即y是非齐次线性方程的解；

2. 又Y作为齐次方程的通解，所以含有两个任意常数，所以y里面也含有两个任意常数，即y为原二阶非齐次线性微分方程的通解。

d.定理四——

设二阶非齐次线性方程y"+P（x）y'+Q（x）y=f（x）中，f（x）是两个函数之和，即y"+P（x）y'+Q（x）y=f1（x）+f2（x），而y*1（x）与y*2（x）分别是方程y"+P（x）y'+Q（x）y=f1（x）与y"+P（x）y'+Q（x）y=f2（x）的特解，那么y*1（x）+y*2（x）就是原方程的特解——线性微分方程的叠加原理。

证明：

1. 将y=y*1（x）+y*2（x）代入原方程左端y"+P（x）y'+Q（x）y——

   y"+P（x）y'+Q（x）y

   =[y*1（x）+y*2（x）]"+P（x）[y*1（x）+y*2（x）]'+Q（x）[y*1（x）+y*2（x）]

   =[y*1(x)"+P(x)y*1(x)'+Q(x)y*1(x)]+[y*2(x)"+P(x)y*2(x)'+Q(x)y*2(x)]

   =f1（x）+f2（x）

   =f（x），即y*1（x）+y*2（x）为原方程一个特解。

这就是同济书上，对二阶线性常微分方程的解的结构的四条定理的相关内容。