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本文显示了如何基于潜在的ARMA-GARCH过程（当然也涉及更广泛意义上的QRM）来拟合和预测风险价值（VaR）。

1 从ARMA-GARCH进程模拟（log-return）数据

我们考虑使用\（t \）分布的ARMA（1,1）-GARCH（1,1）过程。

模拟一条路径（用于说明目的）。

1. 


2. nu <- 3

3. fixed.p <- list(mu = 0, #   mu (intercept)

4. ar1 = 0.5, #   phi_1 (AR(1) 参数 of mu_t)

5. ma1 = 0.3, #   theta_1 (MA(1) 参数 of mu_t)

6. omega = 4, #   alpha_0 (intercept)

7. alpha1 = 0.4, #   alpha_1 (GARCH(1) 参数 of sigma_t^2)

8. beta1 = 0.2, #   beta_1 (GARCH(1) 参数 of sigma_t^2)

9. shape = nu) #

10. armaOrder <- c(1,1) # ARMA 参数

11. garchOrder <- c(1,1) # GARCH 参数

12. varModel <- list(model = "sGARCH", garchOrder = garchOrder)

13. spec <- ugarchspec(varModel, mean.model = list(armaOrder = armaOrder),

14. fixed.pars = fixed.p, distribution.model = "std") # t 标准残差

作为一个完整性检查，让我们绘制模拟路径，条件标准偏差和残差。

plot(X,   type = "l", xlab = "t", ylab = expression(X[t]))plot(sig, type = "h", xlab = "t", ylab = expression(sigma[t]))

plot(eps, type = "l", xlab = "t", ylab = expression(epsilon[t]))

2将ARMA-GARCH模型拟合到（模拟）数据

拟合ARMA-GARCH流程 。

让我们再考虑一些健全性检查。

1. ## 拟合 an ARMA(1,1)-GARCH(1,1) model

2. spec <- ugarchspec(varModel, mean.model = list(armaOrder = armaOrder),

3. distribution.model = "std") #

4. fit <- ugarchfit(spec, data = X) # fit

5. 


6. ##

7. mu. <- fitted(fit) # 拟合 hat{mu}_t (= hat{X}_t)

8. sig. <- sigma(fit) # 拟合 hat{sigma}_t

9. 


10. ##

11. stopifnot(all.equal(as.numeric(mu.),  fit@fit$fitted.values),

12. all.equal(as.numeric(sig.), fit@fit$sigma))

3计算VaR时间序列

计算VaR估计值。请注意，我们也可以在这里使用基于GPD的估算器。

4 Backtest VaR估计值

让我们回顾一下VaR的估计。

1. ## [1] 10

2. ## [1] 12

3. ## [1] "Correct Exceedances"

4. ## [1] "Fail to Reject H0"

5. ## [1] "Correct Exceedances & Independent"

6. ## [1] "Fail to Reject H0"

5基于拟合模型预测VaR

现在预测VaR。

6模拟\（（X_t）\）的未来轨迹并计算相应的VaR

模拟路径，估计每个模拟路径的VaR（注意quantile()这里不能使用，因此我们必须手动构建VaR）并计算\（\ mathrm {VaR} _ \ alpha \）的bootstrap置信区间。

7

最后，让我们显示所有结果。

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