《几何原本》命题3.37【夸克欧氏几何】

命题3.37：

圆外一点向圆引两条直线，一条落在圆上，一条穿过圆，如果那么该点到圆凸弧的线段与该点到圆凹弧的线段所构成的矩形等于落在圆上的线段上的正方形，那么落在圆上的线段切于此圆

已知：圆ABC，点D，AD交圆凸弧于点C，连接BD，S矩形AD×CD=S正方形BD2

求证：BD切于圆ABC

解：

求出圆ABC的圆心

（命题3.1）

过点D作DE切圆ABC于点E

（命题3.17）

连接BF，DF，EF

（公设1.1）

证：

∵DE切圆ABC于点E，AD交圆ABC凸弧于点C

（已知）

∴S矩形AD×CD=S正方形DE2

（命题3.36）

∵S矩形AD×CD=S正方形BD2

（已知）

∴BD=DE

（公理1.1）

∵点F为圆ABC的圆心

（已知）

∴BF=EF

（定义1.15）

∵DF公用

（已知）

∴△DBF≌△DEF，∠DEF=∠DBF

（命题1.8）

∵DE切圆ABC于点E

（已知）

∴DE⊥EF

（命题3.18）

∴∠DEF是直角

（定义1.10）

∴∠DBF也是直角

（公理1.1）

∴BD⊥BF

（定义1.10）

∴BD切于圆ABC

（命题3.16推论）

证毕

此命题是本卷的最后一个命题

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