修罗传
修罗 银河联邦为了宇宙的和平打破了禁忌而诞生的终极铠甲 实力极其强悍...... 但是不知为何 想要得到修罗的承认 必须要在某个地方达到极端...... 比如【最正义】【最邪恶】【最武痴】【最XX】...... 只有在某个地方达到极端才能够驾驭修罗铠甲 而目前，修罗铠甲唯一完全承认的生命存在...... 只有他 宇宙中为了挑战更强者可以付出一切代价的男人...... 炎帝 “当年阿瑞斯军团为了【活捉】炎帝， 花费了多少时间和精力?耗费了多少人力物力？损失了多少资源？毁灭了多少星球和宇宙？就这也只能靠偷袭炎帝本人才能勉强取胜！你们几个毛头小子就想去杀死炎帝？” “路西法！你知道你为什么不能得到修罗铠甲的承认吗？因为你的内心还拥有正义的部分，亦正亦邪的你是没有办法得到修罗的承认的！要么你就回到阿瑞斯星球接受审判剔除你邪恶的部分，要么你就杀死那个还有正义之心的你，在修罗面前没有两个答案！” 修罗很强，强大到他随随便便的出手就可以让整个阿瑞斯军团颠覆曾经的常识 “将军，前方有大量的多元宇宙宇宙向我们袭来，看上去是银河联邦那些人来攻击了！” “多元宇宙的数量有多少？” “将军大人，数量足足有……我的天哪！” 之见在路西法战舰的电脑中，显示了这样一些代码和介绍 def 高德纳(a,n,b): if n==1: return a**b elif n>1: if b==1: return a elif b>1: return 高德纳(a,n-1,高德纳(a,n,b-1)) result=4 for i in range(64): result=高德纳(3,result,3) print(result) “竟然是【DEF！】银河联邦那些家伙是疯了吗？ {【DEF！】就是地球上的【葛立恒数】}
葛立恒数 葛立恒数的大小几乎无法想象，就连它的位数都是一个非常大的数。 甚至，葛立恒数的位数的位数仍然是一个很大的数。 葛立恒数的位数的位数的位数的位数的位数的位数依然是一个很大的数。 如果你想添加足够多的“的位数”这个词语，得到一个可以想象的数，那么“的位数”这个词语的个数依然是很大的数 古戈尔=10^100 古戈尔普勒克斯=10^10^100 但这都不够大...... a×b=a+a+a+…+a（b个a相加） a^b=a×a×a×…×a（b个a相乘） 高德纳箭号 “↑” 和幂的意义是一样 a↑b=aᵇ 还有两个箭头的（写作“↑↑”或“↑²”） 它表示的是重复的“↑”运算，也就是重复的幂运算 a↑²b=a↑(a↑(a↑(…↑a)))（b个a） 也有三个箭头的（写作“↑↑↑”或“↑³”） 它表示的是重复的“↑²”运算 a↑³b=a↑²(a↑²(a↑²(…↑²a)))（b个a） 四个箭头（写作“↑↑↑↑”或“↑⁴”） 表示重复的“↑³”运算。 五个箭头（写作“↑↑↑↑↑”或“↑⁵”） 表示重复的“↑⁴”运算。 六个箭头（写作“↑↑↑↑↑↑”或“↑⁶”） 表示重复的“↑⁵”运算 ……（以此类推） 3↑3=3³=27 3↑²3=3↑(3↑3)= 7625597484987 这是一个13位数 3↑³3=3↑²(3↑²3)=3↑²7625597484987 =3↑(3↑(3↑(…↑3)))（7625597484987个3） 3↑⁴3=3↑³(3↑³3)=3↑²(3↑²(3↑²(…↑²3)))（“3↑³3”个3） 葛立恒数 g₁=3↑⁴3 g₂=3↑ᵍ₁3 g₃=3↑ᵍ₂3 g₄=3↑ᵍ₃3 g₅=3↑ᵍ₄3 g₆=3↑ᵍ₅3 ............... ............... ............... ............... g₆₃=3↑ᵍ₆₂3 g₆₄=3↑ᵍ₆₃3 g₆₄就是葛立恒数 “将军，我们不可能在一瞬间把他们全部摧毁，这种数量太多了！” “能利用飞船的数据化躲开吗？” “将军，在之前与银河联邦的战斗中飞船的数据化防御系统受到严重损伤，已经不能在使用了！” “可恶啊！” “你们在吵什么呢？” “炎帝？你怎么会出现在这里？” “我就到处逛逛，来找一些强者，可惜你军团里的人都太弱了！” “你想要找强者？那里就有！” 只见炎帝抬起了头 “那些是什么？” “是多元宇宙！还是【DEF！】数量的多元宇宙，银河联邦想要彻底杀了我们！” “哈哈哈哈哈！” “你笑什么？”
“不就是【DEF！】数量的多元宇宙吗，那好，今天就来舒缓舒缓吧，也让你们见识一下修罗铠甲的厉害！”
“你难道能在一瞬间把他们都清除干净？”
“怎么不能？在这里看好了！”
炎帝掏出了修罗召唤器，在按下了三个数字按键后变为了修罗铠甲
随后，炎帝将手指向前一指......
就是这一指，【DEF！】数量的多元宇宙瞬间就消失了
“你做了什么？”
“我不过只是将他们瞬间摧毁然后完全吸收了而已。”
轻描淡写，这就是修罗铠甲的强大......
“将军，这个修罗铠甲到底有多强大？”
“我曾在阿瑞斯见到过一个分析，就连瞬间摧毁【GD#】和【TR！】数量的多元宇宙也不能达到修罗铠甲的水准！”
{【GD#】为Goodstein数列，【TR！】为TREE(3)}
Goodstein数列
首先，把一个正整数n写成下面这种形式，称作“k进制形式”。
n=a_1k^{b_1}+a_2k^{b_2}+\cdots+a_mk^{b_m}
其中a_1,a_2,\cdots,a_m都是小于k的正整数，b_1>b_2>\cdots>b_m且都是正整数。
其次，定义“以k为底的遗传记法”。如果n
R a = P P t, P u, P x, c)) C a F } main () R D (D (D (D (D (99)))) F 这里，假定整数类型可以容纳足够大的数而不溢出，当这段程序从main函数结束的时候，它的返回值就是Loader数 “将军，你相信吗......” “之前的话我不可能相信，但是现在我们也不得不信了！” 而问题来了....... 这就是修罗的极限了吗？ “看来你们还是小看了修罗啊！实话告诉你们吧，哪怕是你们阿瑞斯星球不久前（地球时间史前31亿年）得到的【CK&】也不可能用来描述出修罗的真正实力！” {【CK&】就是Church-Kleene ordinal（丘奇-克莱恩序数或CK序数）}
\（\omega_1^\text{CK}\）（称为
Church-Kleene
序数）是最小的非递归序数。 它以Alonzo Church和Stephen Cole Kleene的名字命名。 序数是
递归的
，有两个条件 该图是 \（\mathbb{N}^2\） 的子集。
图的特征函数是可计算的。
它是一种满足 的序数类型的对齐顺序。 也就是说，序数 \（\alpha\） 是递归的，如果某个可计算的全局映射 它是有并满足以下几点: \（R\） 定义 \（\mathbb{N}\） 上的二进制关系。 也就是说，对于任何 \（（n，m） \in \mathbb{N}^2\）， \（R（n，m） \in \{0，1\}\）。
由 \（R\） 定义的 \（\mathbb{N}\） 上的二元关系是 \（\mathbb{N}\） 子集上的反射关系。 即 \（D ：= \{n \in \mathbb{N} \mid R（n，n） = 1\}\） yields \（D = \{n \in \mathbb{N} \mid \exists m \in \mathbb{N}[R（n，m） = 1 \lor R（m，n） = 1]\}\）。
由 \（R\） 定义的 \（D\） 上的自反关系是对齐顺序。 即另外满足以下属性：
由 \（R\） 定义的 \（D\） 上的自反关系满足对立。 也就是说，对于任何 \（（n，m） \in D^2\），\（R（n，m） = R（m，n） = 1\），则 \（n = m\）。
由 \（R\） 定义的 \（D\） 上的自反关系满足传递规则。 也就是说，对于任何 \（（n，m，l） \in D^3\），\（R（n，m） = R（m，l） = 1\），则 \（R（n，l） = 1\）。
由\（R\）定义的\（D\）上的自反关系满足基石。 也就是说，对于任何非空的 \（S \subset D\），存在一个 \（n \in S\），对于任何 \（m \in S\） \（R（n，m） = 1\）。
由 \（R\） 定义的 \（D\） 上的对齐顺序的序号类型是 \（\alpha\）。 也就是说，存在一个总单射映射 \（f \colon \alpha \to D\），并且 \（\beta \leq \gamma\） 和 \（R（f（\beta），f（\gamma））\） 对于任何 \（（\beta，\gamma） \in \alpha^2\） 是等价的。
\（\omega_1^\text{CK}\） 是所有递归序数的集合，即所有递归序数的上限。 由于递归序数的后续序数再次递归，\（\omega_1^\text{CK}\） 是极限序数。 由于所有递归对齐阶都可以等同于不同的图灵机，并且图灵机只有可数的等价类，因此\（\omega_1^\text{CK}\）也是可数的。 它也是一个大于最小 \（\omega\） 的允许序数。 人们经常认为，用固定基列\（\omega_1^\text{CK}\)定义的快速增长函数层次结构\(f_{\omega_1^\text{CK}\）比任何可计算函数增长得更快，但是什么基列应该是固定的\（f_{\omega_1^\text{CK}}}}}（n）\） 这是一种误解，因为甚至不知道它是否会如此迅速地增加。 事实上，存在一个基本列 \（\omega_1^\text{CK}}\（n）\），使得 \（f_{\omega_4^\text{CK}\） 被 \（f_{\omega^1}（n）\） suppress \（\omega_1^\text{CK}\） 的基列是重要的。 定义它的一种方法是伪序数表示法，它可以表示所有称为
Kleene \（\mathcal{O}\）
的递归序数。 普通序数表示法在其对齐顺序结构中需要可计算的功能，但此表示法不可计算。 在构建 Kleene 的 \（\mathcal{O}\） 之前， 需要部分递归函数 \（f_0， f_1， f_2， \ldots\） 的完整枚举。 一种方法是使用图灵机的字典完整枚举。 Kleene 的 \（\mathcal{O}\） 的整个表示法的集合 \（K\） 和窄序半序 \（<_\mathcal{O}\） 以及将符号转换为序数的函数 \（\mathcal{O}\） 归纳定义为： \（0 \in K\） 和 \（\mathcal{O}（0） = 0\）。
如果 \（n \in K\） 和 \（\mathcal{O}（n） = \alpha\），则 \（2^n \in K\）、\（\mathcal{O}（2^n） = \alpha + 1\） 和 \（n <_\mathcal{O} 2^n\）。
如果 \（f_i（n） \in K\） 和 \（f_i（n） <_\mathcal{O} f_i（n + 1）\） 对所有自然数 \（n\） 成立，则 \（3 \cdot 5^i \in K\）， \（\mathcal{O}（3 \cdot 5^i） = \sup_{k \in \omega} \mathcal{O}（f_i（k））\），以及所有 \（k\） \ （f_i（k） <_\mathcal{O} 3 \cdot 5^i\）。
\（a <_\mathcal{O} b\） 和 \（b <_\mathcal{O} c\） 则 \（a <_\mathcal{O} c\）。
\（g（0） = 0\） 和 \（g（n + 1）\） 被定义为与 \（m \in K\） 和 \（g（n） <_\mathcal{O} m\ 相辅相成的最小 \（m \in \mathbb{N}\）。 \（\omega_1^\text{CK}\） 的基本列是 \（\omega_1^\text{CK}[n] = \mathcal{O}（g（n））\）。 以下是高达 \（\omega^2\） 的示例： \（\mathcal{O}（0） = 0\）， \（\mathcal{O}（1） = 1\）， \（\mathcal{O}（2） = 2\）， \（\mathcal{O}（2^2） = 3\）， 一般 \（\mathcal{O}（2 \uparrow\uparrow n） = n + 1\）。
选择 \（f_{10}（n） = 2 \uparrow\uparrow n\）（这是一个递归函数）。 then \（\mathcal{O}（3 \cdot 5^{10}） = \sup\{\mathcal{O}（2）， \mathcal{O}（2^2）， \mathcal{O}（2^{2^2}）， \ldots\} = \sup\{1， 2， 3， \ldots\} = \omega\）.
Select \（f_{100}（n） = （2 \uparrow）^n （3 \cdot 5^{10}）\）。 then \（\mathcal{O}（3 \cdot 5^{10}） = \sup\{\mathcal{O}（2^{3 \cdot 5^{10}}）， \mathcal{O}（2^{2^{3 \cdot 5^{10}}}），\mathcal{O}（2^{2^{2^{3 \cdot 5^{10}}}}）， \ldots\} = \sup\{\omega + 1， \ 欧米茄 + 2， \欧米茄 + 3， \ldots\} = \欧米茄2\）。
这可以在没有定义的情况下继续，但定义为 \（\mathcal{O}（3 \cdot 5^{10^a}） = \omega a\）。
这些可以通过定义 \（f_{11}（n） = 3 \cdot 5^{10^n}\） 来对角化
如果序数是自然数子集的可计算良序的顺序类型，则认为序数是
递归的
。因此，
Church-Kleene 序数
\（\omega_1^\text{CK}\） 是第一个非递归的序数。 一个序数是递归的，当且仅当它小于另一个递归序数，所以 Church-Kleene 序数也是所有递归序数的上确界，也是所有递归序数集合的阶类型。它是一个极限序数，因为递归序数的后继者也是递归的。由于每个可计算的良序都可以由一个不同的图灵机识别，其中有可数个，\（\omega_1^\text{CK}\） 也是可数的 一个名为
Kleene 的 \（\mathcal{O}\）
的系统为我们提供了一个覆盖所有递归序数的非递归符号系统。由于序号表示法必须是递归的，因此它不是序号表示法。在构造 Kleene 的 \（\mathcal{O}\） 之前，首先我们需要枚举所有部分递归函数的枚举 \（f_0， f_1， f_2， \ldots\）。一种方法是按字典顺序对所有图灵机进行排序。另一种方法是使用教会数字，并通过二进制 Lambda 演算编码按字典顺序对所有封闭的 lambda 术语进行排序。 设 \（K\） 是所有表示法的集合，设 \（<_\mathcal{O}\） 是一个运算符，指示 \（K\） 的有充分根据的严格部分排序，并设 \（\mathcal{O}\） 是将表示法映射到序数的函数。这三者归纳定义如下： \（0 \in K\） 和 \（\mathcal{O}（0） = 0\）。
如果 \（n \in K\） 和 \（\mathcal{O}（n） = \alpha\），则 \（2^n \in K\）、\（\mathcal{O}（2^n） = \alpha + 1\） 和 \（n <_\mathcal{O} 2^n\）。
如果对于所有自然数 \（n\），我们有 \（f_i（n） \in K\） 和 \（f_i（n） <_\mathcal{O} f_i（n + 1）\），则 \（3 \cdot 5^i \in K\）， \（\mathcal{O}（3 \cdot 5^i） = \sup_{k \in \omega} \mathcal{O}（f_i（k））\），并且对于所有 \（k\） \（f_i（k） <_\mathcal{O} 3 \cdot 5^i\）。
\（a <_\mathcal{O} b\） 和 \（b <_\mathcal{O} c\） 表示 \（a <_\mathcal{O} c\）
根据定义，可以得出： \（\matrix{\mathcal{O}（2^0） = 1\\mathcal{O}（2^{2^0}） = 2\\mathcal{O}（2^{2^{2^0}}） = 3\\mathcal{O}（2^{2^{2^{2^0}}}） = 4\\mathcal{O}（3 \cdot 5^i） = \omega}\） 这里 \（i\） 是图灵机的索引，它计算 \（f_i（n） = 2 \uparrow\uparrow n\）。继续 \（\matrix{\mathcal{O}（2^{3 \cdot 5^i}） = \omega+1\\mathcal{O}（2^{2^{3 \cdot 5^i}}） = \omega+2\\mathcal{O}（2^{2^{2^{3 \cdot 5^i}}}） = \omega+3\\mathcal{O}（2^{2^{2^{2^{3 \cdot 5^i}}}}） = \omega+4\\mathcal{O}（3 \cdot 5^j） = \omega\cdot 2}\） 这里 \（j\） 是图灵机的索引，它计算 \（f_j（n） = （2 \uparrow）^n （3 \cdot 5^i）\）。 继续以这种方式，可以注释所有递归序数。唯一的问题是图灵机的索引是不可计算的;也就是说，我们不能运行TM的VIA算法来验证它是否确实计算了所需的函数 对于每个 \（\alpha < \omega_1^\text{CK}\），如果 \（\alpha\） 是极限序数，则 \（\alpha[n]\） 定义为 \（\mathcal{O}（f_{i_{\alpha}}（n））\），其中 \（i_{\alpha}\） 表示非空集合 \（\{i \in K \mid \mathcal{O}（3 \cdot 5^i） = \alpha\}\）。 将 \（g（0） = 0\） 和 \（g（n+1）\） 定义为最小的 \（m \in K\），使得 \（\mathcal{O}（g（n）） < \mathcal{O}（m）\）。\（\omega_1^\text{CK}\） 的基本序列定义为 \（\omega_1^\text{CK}[n] = \mathcal{O}（g（n））\） 让我们检查一下我们如何定义 \（\omega[n] = \mathcal{O}（f_{i_{\omega}}（n））\）。 假设有一个图灵机的排序，使得 \（i_{\omega} = 1000\） 和索引为 \（1000\） 的图灵机计算 \（2 \uparrow\uparrow n\）。然后 \（\omega[n] = \mathcal{O}（f_{1000}（n）） = \mathcal{O}（2 \uparrow\uparrow n） = 1+n\）。 假设图灵机有另一个排序，使得 \（i_{\omega} = 969\） 和索引为 \（969\） 的图灵机计算 \（2 \uparrow\uparrow （n-1）\）。然后 \（\omega[n] = \mathcal{O}（f_{969}（n）） = \mathcal{O}（2 \uparrow\uparrow （n-1）） = n\）。 因此，基本序列依赖于图灵机的顺序。 丘奇-克莱尼序数基本序列的前几项 根据定义，\（\omega_1^\text{CK}[0] = 0\）。事实证明，由于 1 和 1 以来，图灵机的任何枚举下的 \（\omega_1^\text{CK}[1] = 2\） 和 \（\omega_2^\text{CK}[1] = 2\） 不能以 \（3 \cdot 5^n\） 的形式表示。但是，\（\omega_1^\text{CK}[3]\） 依赖于图灵机的枚举，因为 \（3 = 3 \cdot 5^0\）。例如，如果我们修复 \（f_0（n） = 2 \uparrow\uparrow n\），则 \（\omega_1^\text{CK}[3] = \omega\） 关于快速增长的层次结构\（f_{\omega_1^\text{CK}}\）关于上述基本序列系统，有很多错误的信息。
语句“\（f_{\omega_1^\text{CK}}\） 是可计算的，因为快速增长的层次结构中的每个函数都是可计算的”
是错误的。快速增长的层次结构中的函数不一定是可计算的，即使它与递归序数相关联，而且 \（\omega_1^\text{CK}\） 不是递归的。
语句“\（f_{\omega_1^\text{CK}}\） 近似于繁忙的海狸函数，因为它们都是对角化可计算函数的不可计算函数”
是错误的。上述基本序列系统在很大程度上取决于图灵机枚举的选择，\（f_{\omega_1^\text{CK}}\）的增长率也是如此。例如，众所周知，如果选择图灵机的特定枚举，则可以在 Wainer 层次结构中由 \（f_{\omega+3}\） 限定。是错误的。上述基本序列系统在很大程度上取决于图灵机枚举的选择，图灵机的增长率也是如此 至少，没有已知的图灵机枚举，其中 \（f_{\omega_1^\text{CK}}\） 近似于繁忙的海狸函数。
语句“\（f_{\omega_1^\text{CK}}\） 的增长速度比任何可计算函数都快，因为它对角化了快速增长的层次结构中的所有可计算函数”
是错误的。正如我们上面所解释的，它可以在 Wainer 层次结构中由 \（f_{\omega+3}\） 限定。对角化有时会导致增长率下降。
语句“\（f_{\omega_1^\text{CK}}\） 由二阶繁忙海狸函数限制，因为它可以被预言机图灵机计算”
是错误的。对于图灵机的特定非病理性枚举，这种比较从未得到验证。我们甚至不知道 \（f_{\omega_1^\text{CK}}\） 是否受 \（\alpha\）-th 阶繁忙海狸函数的边界，对于低于 \（\omega_1^\text{CK}\） 的某个序数 \（\alpha\），或者对于图灵机的非病理枚举，因为没有高达 \（\omega_1^\text{CK}\） 的符号可以被阶数小于 \（\omega_1^\text{CK}\） 的高阶预言机图灵机计算。
也就是说，\（f_{\omega_1^\text{CK}}\） 相对于图灵机的非病理枚举的增长率是未知的，因为最小序数 \（\alpha\） 使得 \（f_{\omega_1^\text{CK}}\） 由 \（\alpha\）-th 阶繁忙海狸函数限定是未知的。至少，如果一个给定的函数\（f\）与\（f_{\omega_1^\text{CK}}\）无关，被验证为比\（f_{\omega_1^\text{CK}}\）增长得更快，那么它的增长速度通常比繁忙的海狸函数快得多，因为我们通常需要比高阶预言机图灵机更强大的工具来研究这样的\（f\）。 然而，\（f_{\omega_1^\text{CK}}\）（相对于任何基本序列系统）在 Wainer 层次结构中必然至少与 \（f_\omega\） 一样快，因为 \（\omega_1^\text{CK}\） 的基本序列是单调递增的 “炎帝，你这么强大的话，要怎么去找能和你对打的人呢！” “这不在我的考虑范围里，我只知道有强者，我就上！” “......” “这就是个武痴吧！” “这货绝逼智商不高！” “嘘！别让他听见了！要不然我们都得死！” .................. .................. .................. .................. .................. .................. .................. .................. 下期预告......
桥夹克里夫 《神之一枪》 用这发子弹，宣告我的到来......
