数学逻辑体系的起点，逻辑关系，反证法是可信的
欧几里得76、数学逻辑体系的起点，逻辑关系，反证法是可信的
只能用反证法证明的命题，有以下几类：
…反证法：见《欧几里得72~75》…
…证、明、证明：见《欧几里得6》…
…命、题、命题：见《欧几里得70》…
1.有关纯数字划分的问题很多命题都只能借助反证法得证。这类问题通常都是直接作为定理或常用推论来使用的，比如根号2是无理数。
…定、理、定理：见《欧几里得2》…
…推、论、推论：见《欧几里得66》…
2.对许多直接建立在定义和公理之上的一级定理：
…定、义、定义：见《欧几里得28》…
…公、理、公理：见《欧几里得1、2》…
由于这些定理可使用的证明条件太少，只能用反证法才能证明。而建立在定义、公理与一级定理之上的二级定理，以及在逻辑链中更靠后的三级定理、四级定理等等，由于已被证明的定理数目越来越多，因此对于逻辑链中更靠后的定理，有更多的证明条件可以使用，常常不必使用反证法就可以得证。而公理本身是不证自明的，它们是数学逻辑体系的起点（基石），这已经是数学知识的底线了。如果你不接受它们，你认同的所有数学命题都不成立。
…逻、辑、逻辑：见《欧几里得5》…
…体、系、体系：见《欧几里得27》…
3.证明一个集合有无穷多个元素：用反证法。即证明如果它是有限的，则会存在矛盾
…集、合、集合：见《欧几里得31》…
…元、素、元素：见《欧几里得45》…
如，证明不存在最大的自然数。如果从正面去证明，相当于列举自然数，然而我们需在有限的步骤中完成，因此直接证法行不通。于是，利用排中律转化为：对于所有自然数n，存在一个自然数m，使得m>n。这几乎是显然的。
…排中律：见《欧几里得72~74》…
总之，只要承认证明过程中只能在有限的步骤中完成，那么关于无穷的问题，我们也只能利用排中律转化为有穷来证明。
依据
反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”。在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的“矛盾律”；两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说“A或者非A”，这就是逻辑思维中的“排中律”。
…思、维、思维：见《欧几里得22》…
…矛盾律：见《欧几里得73》…
反证法在其证明过程中，得到矛盾的判断，根据“矛盾律”，这些矛盾的判断不能同时为真，必有一假，而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的，所以反命题必为假。再根据“排中律”，命题与反命题这互相否定的判断不能同时为假，必有一真，于是我们得到原命题必为真。
所以反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据的，反证法是可信的。
…基、本、基本：见《欧几里得2》…
…理、论、理论：见《欧几里得5》…
使用方法
运用反证法证明命题的第一步是：假设命题不成立，即假设命题的反面成立。在这一步骤中，必须注意正确的反设，这是正确运用反证法的基础、前提，正确作出反设，是使用反证法的一大关键。否则，如果错误地“否定命题”，即使推理、论证再好也都会前功尽弃。
要想正确的做出反设，必须注意以下几点：
（1）分清命题与反命题的逻辑关系。
…关、系、关系：见《欧几里得75》…
…逻辑关系：即“依赖关系”，指在人类活动中和思维活动中，概念之间的逻辑关系、命题之间的逻辑关系、事物之间的逻辑关系，时间之间和空间之间的逻辑关系。指表示两个活动（前导活动和后续活动）中一个活动的变更将会影响到另一个活动的关系…
（…概、念、概念：见《欧几里得22、23》…）
（2）结论的反面常常不止一种情形，则需反设后，分别就各种情况归谬（miù），做到无一遗漏。
…归：见《欧几里得38》…
…谬：本意是极端错误，非常不合情理，错误的，不合情理的，差错。礼记·中庸》有记载：考之三王而不谬。
字义：1.错误的；荒唐的：～论。
2.差错：失之毫厘，～以千里…
…归谬：又称归谬法…
…法：见《欧几里得3》…
…归谬法：一种反驳方法。先假定被反驳的观点是正确的，再从它推出明显荒谬的结论，从而证明它是错误的。
归谬法一般指反证法…
总之，在否定命题之前，首先要弄清命题是什么。当命题的反面非常明显并且只有一种情形时，是比较容易做出否定的。但命题的反面是多种情形或者比较隐晦（huì）时，就不太容易做出否定。这时必须认真分析（xī）、仔细推敲，在提出“假设”后，再回过头来看看“假设”的对立面是否恰是原命题。
…分、析、分析：见《欧几里得36》…
范例
证明：素数有无数个。
…素：见《欧几里得24》…
…数：见《欧几里得15》…
…素数一般指质数…
…质、质数：见《欧几里得15、16》…
这个古老的命题最初是由古希腊数学家欧几里德（Euclid Alexandra，生活在亚历山大城，约前330～约前275，是古希腊最享有盛名的数学家）在他的不朽著作《几何原本》里给出的一个反证法：
假设命题不真，则只有有限多个素数，设所有的素数是2=a（1）＜a（2）＜a（3）…＜a（n）
此时，令N=a（1）·a（2）·a（3）…a（n）+1
（…真：符合事实…见《欧几里得75》…
…不真：不符合事实…）
那么所有的a（i）（i=1，2，3，4，5，n）显然都不是N的因子，那么有两个可能：
…因、子、因子：见《欧几里得16》…
1.N有另外的素数真因子。
…真：见《欧几里得16》…
…真因子：自身以外的因数。如6=1×6=2×3，6的真因子就是1、2、3；28=1×28=2×14=4×7，28的真因子就是1、2、4、7、14…
2.N本身就是一个素数。
但是显然有N＞a（i）（i=1，2，3，4，5，n）。
无论是哪种情况，都将和假设矛盾。这个矛盾就完成了我们的证明，所以确实有无数个素数！
“雷恩是首个以符号“∴”表示“所以”（therefore）的人（“主要是因为写字母太麻烦了…”雷恩说。），他于1659年的一本代数书中以“∴”及“∴”两种符号表示“所以”，其中以“∴”用得较多。
请看下集《欧几里得77、最、简、最简分数，分子，母、分母，互、互质，数学符号∵∴》”
若不知晓历史，便看不清未来
欢迎关注哔哩号“中国崛起呀”
