广义相对论复习
微分几何部分
广义相对论的基本图像：时空流形～四维Lorentz流形，曲线～世界线，单位切矢量～4-速度，等等。
微分流形就是很多坐标卡覆盖起来的东西。每个坐标卡是与$\mathbb{R}^n$的（微分）同胚，重叠的坐标卡需要$C^\inf$相容性。比如AEF坐标和REF坐标能分别覆盖Schwarzschild解的最大解析延拓的一部分，在重叠的部分相容。
流形上最基本的东西就是张量场。古典的extrinsic的微分几何在嵌入的高维空间很直观地定义切平面、切向量以及方向导数、协变导数，现在intrinsic的几何里没法这么干，但是可以类比着定义。
首先是切矢和余切矢。我比较喜欢各自拿两套定义理解。一套是余切矢是切矢到$\mathbb{R}$的线性映射，反之亦然，说的是对偶性。另一套是把切矢按照方向导数的性质（Leibniz律）公理化地定义，余切矢按照下面的方式定义：首先有流形$M$在$p$处的$C^\inf$-函数芽$[f]$，$C_p^\inf$商掉这个等价类记为$\mathcal{H}_p$，这个线性空间再 商掉$\mathcal{F}_p$即关于局部坐标一阶偏微商为0的芽构成的空间，就得到$T_p^*M$。从这个定义看$df=-tdt+xdx$这样的式子就很自然了。
对于我这种不懂代数的人来说，告诉我一个线性映射总是太抽象了，能拿出一组基来才比较舒服。所以看待张量最舒服的观点就是基下的展开：
之后需要对张量场微分，需要仿射联络。之后就能定义协变微分和延曲线微分。
Riemann正则坐标的存在性是等效原理在数学上的体现。从这个角度来讲，等效原理并不是一个基础性的假设，而是推论性质的。Synge就认为：等效原理在相对论创立的初期起到了与以往经典物理的桥梁的作用，它可以被称之为“广义相对论的接生婆”，而现在“在广义相对论这个新生婴儿诞生后把她体面地埋葬掉”。
最小耦合，也即是把平直时空里的偏微分换成协变微分。然后测地线方程、测地进动方程就可以很方便地写出来。
测地线。加速度为0，相当于直线。
Killing矢量场。从实际应用的意义上来讲，我们从来不用协变微分的那个定义；某种坐标下，度规与某个坐标无关，则这个坐标的平移就是Killing矢量场。Killing矢量场表征的是流形的对称性，其最重要的意义在于：测地线的4-速度与Killing矢量的内积给出守恒量。对于动力系统来说这种首次积分再好不过了。Killing矢量场也能定义初整体的守恒量。
古典微分几何课里面解曲面的测地线都是强行解ODE。现在用Killing矢量+切矢量归一化条件可以很方便地求解很多以前算起来很麻烦的东西，比如Poincare上平面的测地线。
Noether定理。我是从两个角度来直观理解的。从Lagrange力学来看，无非是Euler-Lagrange方程中Lagrangian与某个广义坐标无关，则广义动量守恒；从GR的角度来看，比如对于Schwarzschild时空，$\partial_t$是KIlling矢量场，也就是时间上的对称性，给出能量守恒；$\partial_\phi$是Killing矢量场，也就是旋转的对称性，给出角动量守恒。
狭义相对论的formulation
狭义相对论说的是没有能动张量扭曲的平直时空，数学上说就是时空是这样一个流形，它存在一种特殊的坐标系（惯性坐标），这个坐标能够覆盖整个流形，并且度规是diag(-1,1,1,1)。
不同惯性坐标之间的变换即Lorentz变换。虽然从四维来看是个转动，回到三维，这就是向某个方向的平移。
比较难以理解的是时空流形的一个坐标化到底代表什么。一个坐标在物理上相当于对时空的一种度量方式，它可以有比较明确的物理意义（比如Schwarzschild坐标是无穷远处观测者的坐标），也可以不具有明显的物理意义（比如乌龟坐标就有一种伸缩；Kruskal坐标就没有显著的物理解释了）；但是这还不是重点。在狭义相对论里面，我们说一个全局的惯性坐标并没有什么毛病，比如可以指定和“我”这个惯性观测者“同时”的时空切片；也就是在这种意义下，我们才可以谈“尺缩效应”之类的事情（并不是我“看到”尺子缩短了，而是尺子在我的这个时刻的类空超曲面上缩短了；我并不能“看到”尺子，我只能看到尺子发出的光子在某一时刻打在我的视网膜上，这与类空超曲面上截出的尺子是两回事，只是在狭义相对论中还不太明显罢了。Terrell转动说的就是“类空超曲面上的截断”与“视觉效应”的差别）。但是到广义相对论里面，所有东西都是局部的，我能观测到的事件点跟我必须是重合的。所以根本没有“远处的某个事件和我处于同一个时刻”，或者“我看到远处某个东西的速度”，或者“宇宙膨胀中星系远离我的速度”，所有的观测都是在同一点上切矢量在Frenet标架上的投影。至于坐标时是什么含义，其实并没有含义，绕着黑洞的圆周运动角速度$\frac{d\phi}{dt}$也没有任何含义，只是一种记号罢了。比如说，我看着夜空，自己转了一圈，在我看来远处的恒星飞快地转了一圈，线速度远远超过光速。但是这只是一种“坐标速度”，实质上只是从不同时刻光子达到我的视网膜上强行定义出来的一个速度，而不是某个切矢量在我的局部实验室上的投影，所以无所谓超不超光速的问题。所以最后，我们也只能说，一个坐标在物理上相当于对时空的一种度量方式，而并没有别的特别的意义。
在流形上有世界线，于是有4-速度，也就是普通的单位切向量。固有时即为类时曲线的长度（的相反数）。进一步有Fermi-Walker坐标，就是无空间转动的观测者坐标，从微分几何角度来看就是一种特殊的Frenet标架。有了这个标架，就可以作投影来计算测量的物理量。
狭义相对论几个经典的效应/佯谬，从几何角度看都很容易，比如尺缩、钟慢、光的Doppler频移、Einstein圆盘、孪生子佯谬。需要注意的是，在平直时空的物理就是狭义相对论，并不一定要取惯性坐标系，比如匀加速的Rindler坐标，它的Christoffel符号非零，但是Riemann张量仍然为0。毕竟Christoffel符号不是张量，随坐标变换是很随意改变的。再比如孪生子佯谬也仅仅用到Minkovski时空类时测地线的固有时最长，而不是很多人说的需要广义相对论。即使你闲着用运动者的坐标系算，静止在地球上的那位走的仍然是测地线，照样最长。
广义相对论的formulation
从广义相对论的角度来看，引力并不作为一种力， “惯性运动”/“匀速直线运动”是测地运动。站在地球上，实际受到的力只有地面的支持力，所以每时每刻都在加速，偏离坠向地心的惯性运动。
Einstein场方程与测地方程可以看成GR的两个基本假设。纳入作用量体系的话，Einstein场方程、测地线方程、能动量守恒方程都是自洽的。
Schwarzschild度规
真空Einstein场方程的球对称解。这是我们在广义相对论里用的最多的东西。
如果加上宇宙学常数，Schwarzschild度规里会多出一个$r^2$项。这很容易解，毕竟有了Mathematica的GRQUICK之类的package之后就再也没有手算过Riemann曲率张量。
Schwarzschild度规下的测地线。你当然可以把测地方程写出来求解，但是最简单的方法是注意到Killing矢量$\partial_t$与$\partial_\phi$，它们与测地运动4-速度的内积给出两个守恒量（能量和角动量，和经典力学中的Keppler问题一样），在根据4-速度的归1（0）化条件就可以完全解出测地线。Kerr黑洞的测地线也可以一样求解，虽然麻烦很多。
研究测地线的径向运动，可以得到ISCO和光子球。研究测地线对直线或椭圆的偏离，可以得到光线弯曲公式和进动角公式。还有一些经典的效应比如引力红移（或者更复杂的吸积盘上引力红移与Dopper效应的结合）、spaghettification、雷达回波延迟、de Sitter-Fokker效应（用最小耦合）等等都很容易研究。
最后是Schwarzschild黑洞的Penrose图。
光锥仍为正负45度。从渐进平直时空进入事件视界，从无穷远处观者来看要超过无穷远的时间。之后在事件视界内部，Schwarzschild坐标不再覆盖，而未来奇点是类空的，所以不可避免地撞上。下面是白洞区域，左侧大概可以说成是某种“平行时空”。
Reissner-Nordstrom度规
懒得仔细写了。度规就是Schwarzschild度规里加上一项$1/r^2$项。只放一张Penrose图。
外视界类似于Schwarzschild黑洞的事件视界。进入以后不可避免撞上内视界，在这内部因为奇点是类时的，所以可以避开，由此进入另一个白洞的内视界内部，再走出外视界进入另一个渐进平坦时空，由此可以无限往复。这个数学上的解析延拓到底有多少是物理的并不知道，比如球对称性的破坏会使黑洞隧道很快关闭。
Kerr度规和Kerr-Newman度规
度规更加麻烦。不过在弱场近似下，可以看成Schwarzschild度规加上一个引磁项，可以跟电动力学类比，很有意思（重力电磁性）；用于计算地球这种弱转动也是比较方便的。
Kerr度规里的r并不能直接理解为Schwarzschild里r同样的物理含义，而是要通过Kerr-Schild椭球坐标转换。直观上这代表旋转把时空甩扁了。
Kerr黑洞的无限大红移面（稳态极限面）和事件视界分离开，之间的能层里的所有东西都被拖拽着旋转而无法静止。从中可以提取能量（Penrose过程）。
Kerr黑洞的测地线也可以严格求解，也是用两个Killing矢量。从而也可以研究光子球、ISCO等。此时顺着转和倒着转是有区别的，理所应当。
最后放一张（非极端）Kerr黑洞的Penrose图。
跟RN黑洞类似，有两个视界，不过它的类时奇点是环状的，可以穿过去到达一个渐进平坦的时空（图里叫antiverse）。它还有闭合类时曲线。
乱七八糟的东西
引力波不细写了。总的来说，线性化的Einstein场方程跟电磁场的波动方程长得一样，所以光速传播、两个自由度、横波这几条都是好理解的。电磁辐射最高阶是偶极辐射，但是引力没有偶极辐射（动量守恒），所以最高阶是四极矩的辐射，有一个四极矩辐射公式，用四极矩的二阶微分给出度规的扰动。引力波的能量损耗也有一个常用的公式，由四极矩的三阶微分给出。
估算相对论效应。通常可以把$GM/Rc^2$即$R_s/R$作为相对论因子。地球的Schwardschild半径大概1cm，太阳大概3km，然后可以很容易地估算这些系统中的相对论效应，比如GPS有多少误差。
