一、        实验要求

1、熟练掌握矩阵的分析方法，如inv、rank、det、cond、rref、norm、eig、schur等；

2、掌握矩阵的QRQ、LU、QR分解方法，并会利用分解方法求线性方程组的解；

3、掌握线性方程组的一般求解方法，并会编写函数文件；

4、掌握MATLAB在三维向量中的应用。

二、        实验内容

1、不用循环的方法输入下面两个矩阵：

提示：生成矩阵A和B，可能用到函数ones(n,m)，diag(V)，fliplr(A)，eye(m,n)。

要求如下：

（1）求矩阵A和B的秩和行列式值；

（2）求矩阵A和B的条件数和迹，其中使用公式（2-范数）验证条件数；

（3）求矩阵A和B的特征值和特征多项式，其中特征多项式使用函数poly2sym(p)转化为表达式形式，并使用vpa函数保留4位有效数字；

（4）求矩阵A和B的列和范数、行和范数、谱范数和Frobenius范数，其中验证Frobenius范数求解的正确性，即按照公式（可能用到函数abs、sum和sqrt）；

（5）化简矩阵，求矩阵A和B的行阶梯矩阵；

（6）求矩阵A和B的正交矩阵Q，并验证；

（7）判断矩阵A和是否是正定矩阵，并给出矩阵的cholesky分解矩阵；

2、已知线性方程组

（1） 清除工作空间里的变量，然后建立系数矩阵D，求D的秩是多少？

（2）用矩阵求逆的方法求线性方程组的解X_inv；

（3）一般化克拉默法则（如图2-1），调用并输入参数，求线性方程组的解X_cramer；

（4）用函数cond求解矩阵D的条件数cond_D；如果把右端向量改为b = [4.02;5.95;12.04;5.96];，请再次求解线性方程组的解X_cond，观察解的变化，并说明矩阵性能与条件数的关系；

（5）把系数矩阵赋值给E，求系数矩阵E的特征值和特征向量，并解释说明哪个特征值对应哪个特征向量。

3、求下列向量组的一个极大无关组，其余向量如何用极大线性无关组表示。

4、用LU矩阵分解方法求解线性方程组。

提示：命令[L,U,P] = lu(A)，把矩阵分解为PA = LU形式，其中A为系数矩阵，L为上三角，U为下三角；原方程组AX=b，把PA=LU带入得(LU)X=Pb，则解X = inv(U)*inv(L)*P*b。

4、求点U=(4,-5,7)到平面5x-2y+10z+6=0的距离r。

提示：点U=(u1,u2,u3)到平面Ax+By+Cz+D=0的距离r的计算公式是：

5、求一个正交变换X=PY，把如下二次型化成标准型（函数[P, T] = schur(A)）。

6、求解方程组，完成程序的输入（如图2-2）和求解，并对结果进行解释说明。

（1）  

（2）