【种花家务·代数】2-1-09本章复习（一元一次方程和可以化为一元一次方程的分式方程）

2023-11-11 12:16 作者:山嵓 0人读过 | 我要投稿

【阅前提示】本篇出自『数理化自学丛书6677版』，此版丛书是“数理化自学丛书编委会”于1963-1966年陆续出版，并于1977年正式再版的基础自学教材，本系列丛书共包含17本，层次大致相当于如今的初高中水平，其最大特点就是可用于“自学”。当然由于本书是大半个世纪前的教材，很多概念已经与如今迥异，因此不建议零基础学生直接拿来自学。不过这套丛书却很适合像我这样已接受过基础教育但却很不扎实的学酥重新自修以查漏补缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我写的注解。

【山话嵓语】我在原有“自学丛书”系列17册的基础上又添加了1册八五人教甲种本《微积分初步》，原因有二：一则，我是双鱼座，有一定程度的偶双症，但“自学丛书”系列中代数4册、几何5册实在令我刺挠，因此就需要加入一本代数，使两边能够对偶平衡；二则，我认为《微积分初步》这本书对“准大学生”很重要，以我的惨痛教训为例，大一高数第一堂课，我是直接蒙圈，学了个寂寞。另外大学物理的前置条件是必须有基础微积分知识，因此我所读院校的大学物理课是推迟开课；而比较生猛的大学则是直接开课，然后在绪论课中猛灌基础高数（例如田光善舒幼生老师的力学课）。我选择在“自学丛书”17本的基础上添加这本《微积分初步》，就是希望小伙伴升大学前可以看看，不至于像我当年那样被高数打了个措手不及。

第一章一元一次方程和可以化为一元一次方程的分式方程

本章提要

1、几个重要的概念

等式，恒等式，方程，方程的解，解方程，同解方程，整式方程，分式方程，增根。

2、方程的两个基本性质

(1) 方程的两边都加上（或者都减去）同一个数或者同一个整式，所得的方程和原方程是同解方程；

(2) 方程的两边都乘以（或者都除以）不等于零的同一个数，所得的方程和原方程是同解方程。

3、一元一次方程的解法

应用移项法则，并且合并同类项，把方程化简成 ax＝b 的形式，再求出方程的解。方程 ax＝b 的解有三种情况：

(1) 当 a≠0 时，方程有一个解 b/a；

(2) 当 a＝0,b≠0 时，方程没有解；

(3) 当 a＝0,b＝0 时，方程有无数个解。

4、可以化为一元一次方程的分式方程的解法

(1) 先把原方程变形成整式方程；

(2) 解所得的一元一次方程；

(3) 进行检验。

5、列方程解应用题的一般步骤

(1) 审题，要仔细阅读题目，分析题目；

(2) 设元和列出方程，要选择适当的未知数设元，再根据题意列出方程；

(3) 解方程，求出未知数的值；

(4) 检验并且写出答语。

复习题一

1、

(1) 等式、恒等式和方程有什么区别？各举两个例子；

(2) 什么叫做方程的根？

2、利用乘法公式，证明下列等式是恒等式：

(1) (a－b)(a＋b)(a²＋b²)(a⁴＋b⁴)＝a⁸－b⁸；

[提示：先把开头两因式相乘，再依次与第三个、第四个因式相乘]

(2) (a＋b)³(a－b)³＝a⁶－3a⁴b²＋3a²b⁴－b⁶ 。

[提示：(a＋b)³(a－b)³＝[(a＋b)(a－b)]³ ]

3、举例说明同解方程的意义和方程的两个基本性质。

4、判别下列各题中的两个方程是不是同解方程：

(1) 3x＋5＝7x－1 和 (3x＋5)＋(2x＋1)＝(7x－1)＋(2x＋1)；【是】

(2) $%5Cscriptsize%5Cfrac%7By-4%7D5%3D%5Cfrac%7By%2B2%7D3$ 和 3(y－4)－5(y＋2) 。【是】

5、解下列各方程：

$%5Csmall%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%26(1)%5C%2C3(x-7)-2%5C%7Bx%2B9-3%5B9-4(2-x)%5D%5C%7D%3D22%3B%20%20%5C%5C%0A%26(2)%5C%2C%5Cfrac%7B5x%2B1%7D%7B6%7D%2B%5Cfrac%7B3x-1%7D%7B5%7D%3D%5Cfrac%7B9x%2B1%7D%7B8%7D-%5Cfrac%7B1-x%7D%7B3%7D%3B%20%5C%5C%0A%26(%203)%5C%2Cy-%5Cfrac%7B3%7D%7B17%7D(2y-1)%3D%5Cfrac%7B7%7D%7B34%7D(1-2y)%2B%5Cfrac%7B10y-3%7D%7B2%7D%3B%20%20%5C%5C%0A%26(4)%5C%2C%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D(x-2)-%5Cfrac%7B1%7D%7B7%7D(5x-6)%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B5%7D(3x-4)%3D%5Cfrac%7B22x-63%7D%7B10.5%7D%3B%5C%5C%0A%26(5)%5C%2C%5Cfrac%7B1-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D(1-x)%7D%7B3%7D%3D1.%0A%5Cend%7Baligned%7D$

【(1) 2又1/5，(2) 7，(3) 25/67，(4) 1，(5) 21】

6、解下列各方程：

(1) (x－3)²＋(x－4)²＝(x－2)²＋(x＋3)²；

(2) (4x＋5)(4x－5)＝4(2x＋3)²－(100x－17)；

(3) (x＋5)³＋(x－5)³＝2(x＋5)(x²－5x＋25)；

(4) (2x²＋3x－1)(2x²－3x＋4)＝(x²－1)(4x²＋1) 。

【(1) 3/4，(2) 1又1/2，(3) 1又2/3，(4) 1/5】

7、解下列各方程：

$%5Csmall%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%26%5Ctext%7B(1)%7D%5C%2C%5Cfrac%7Bx%2B5%7D%7Bx-1%7D-%5Cfrac%7B3x-3%7D%7Bx%2B5%7D%3D%5Cfrac%7B8x%2B28%7D%7Bx%5E%7B2%7D%2B4x-5%7D-2%3B%20%20%5C%5C%0A%26%5Ctext%7B(2)%7D%20%5C%2C%5Cleft(1%2B%5Cfrac%7B2%7D%7Bx-2%7D%5Cright)%5E%7B2%7D%2B%5Cleft(1-%5Cfrac%7B2%7D%7Bx-2%7D%5Cright)%5E%7B2%7D%3D%5Cfrac%7B2x%7D%7Bx-2%7D%3B%20%20%5C%5C%0A%26%5Ctext%7B(3)%7D%20%5C%2C%5Cfrac%7B3-x%7D%7B1-x%7D-%5Cfrac%7B5-x%7D%7B7-x%7D%3D1-%5Cfrac%7Bx%5E%7B2%7D-2%7D%7Bx%5E%7B2%7D-8x%2B7%7D%3B%20%20%5C%5C%0A%26%5Ctext%7B(4)%7D%20%5C%2C%5Cfrac%7B6x%2B12%7D%7Bx%5E%7B2%7D%2B4x%2B4%7D-%5Cfrac%7Bx%5E%7B2%7D-4%7D%7Bx%5E%7B2%7D-4x%2B4%7D%2B%5Cfrac%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Bx%5E%7B2%7D-4%7D%3D0%2C%20%0A%5Cend%7Baligned%7D$

[提示：先约简分式，再解方程]

【(1) 无解，(2) 4，(3) －1又3/4，(4) 8】

8、解下列各方程：

$%5Csmall(1)%5C%2C%5Cfrac%7Bx%2B1%7D%7Bx%2B2%7D%2B%5Cfrac%7Bx%2B6%7D%7Bx%2B7%7D%3D%5Cfrac%7Bx%2B2%7D%7Bx%2B3%7D%2B%5Cfrac%7Bx%2B5%7D%7Bx%2B6%7D%3B$

[解法举例：本题如果一开始就去分母，会得出很繁的方程，采用下面做法，可以简便。

因为

$%5Cscriptsize%5Cfrac%7Bx%2B1%7D%7Bx%2B2%7D%3D1-%5Cfrac1%7Bx%2B2%7D%2C%5Cquad%5Cfrac%7Bx%2B6%7D%7Bx%2B7%7D%3D1-%5Cfrac1%7Bx%2B7%7D%2C$

$%5Cscriptsize%5Cfrac%7Bx%2B2%7D%7Bx%2B3%7D%3D1-%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%2B3%7D%2C%5Cquad%5Cfrac%7Bx%2B5%7D%7Bx%2B6%7D%3D1-%5Cfrac1%7Bx%2B6%7D%2C$

所以原方程可以写成 $%5Cscriptsize1-%5Cfrac1%7Bx%2B2%7D%2B1-%5Cfrac1%7Bx%2B7%7D%3D1-%5Cfrac1%7Bx%2B3%7D%2B1-%5Cfrac1%7Bx%2B6%7D%2C$

就是 $%5Cscriptsize-%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%2B2%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%2B7%7D%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%2B3%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%2B6%7D.$

移项，得 $%5Cscriptsize%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%2B6%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%2B7%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%2B2%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%2B3%7D.$

两边分别通分，得 $%5Cscriptsize%5Cfrac1%7Bx%5E2%2B13x%2B42%7D%3D%5Cfrac1%7Bx%5E2%2B5x%2B6%7D%2C$

去分母，得 x²＋5x＋6＝x²＋13x＋42，∴ x＝－9/2 。]

$%5Csmall%5Cbegin%7Baligned%7D(2)%5C%2C%26%5Cfrac%7Bx-8%7D%7Bx-3%7D-%5Cfrac%7Bx-9%7D%7Bx-4%7D%3D%5Cfrac%7Bx%2B7%7D%7Bx%2B8%7D-%5Cfrac%7Bx%2B2%7D%7Bx%2B3%7D%3B%5C%5C(3)%5C%2C%26%5Cfrac%7Bx%2B7%7D%7Bx%2B6%7D%2B%5Cfrac%7Bx%2B9%7D%7Bx%2B8%7D%3D%5Cfrac%7Bx%2B10%7D%7Bx%2B9%7D%2B%5Cfrac%7Bx%2B6%7D%7Bx%2B5%7D.%5Cend%7Baligned%7D$

【(2) －2/3，(3) －7】

9、解下列关于 x 的方程：

$%5Csmall%5Cbegin%7Baligned%7D(1)%5C%2C%26%5Cfrac%7Bx%2B1%7D%7Ba%2Bb%7D%2B%5Cfrac%7Bx-1%7D%7Ba-b%7D%3D%5Cfrac%7B2a%7D%7Ba%5E2-b%5E2%7D%5Cquad(a%5Cneq0)%3B%5C%5C(2)%5C%2C%26%5Cleft(%5Cfrac%20mn%2B%5Cfrac%20nm%5Cright)x%3D%5Cfrac%20mn-%5Cfrac%20nm-2x%5Cquad(m%2Bn%5Cneq0)%3B%5C%5C(3)%5C%2C%26%5Cfrac%7Ba%5E2-2x%7D%7B2x%2B1%7D-%5Cfrac%7Ba%5E2%2B2x%7D%7B1-2x%7D%3D%5Cfrac%7B2(a%5E4-1)%7D%7B4x%5E2-1%7D.%5Cend%7Baligned%7D$

【 $%5Cscriptsize%5Cfrac%7Ba%2Bb%7Da%2C%5Cquad(2)%5Cfrac%7Bm-n%7D%7Bm%2Bn%7D%2C%5Cquad(3)%5Cfrac%7Ba%5E2-1%7D2$ 】

10、解下列关于 x 的方程，并且加以讨论：

$%5Csmall%5Cbegin%7Baligned%7D%26(1)%5C%3Bx%2B%5Cfrac%7Bax%7D%7Bb%7D%3Da%2Bb%3B%5C%5C%26(2)%5C%3B%5Cfrac%7Bm%2Bx%7D%7Bn%7D%2B2%3D%5Cfrac%7Bx-n%7D%7Bm%7D.%5C%5C%5Cend%7Baligned%7D$

【(1) 如果a＋b≠0，x＝b；如果a＋b＝0，无数多解。(2) 如果 m≠n， $%5Cscriptsize%20x%3D%5Cfrac%7B%5Cleft(m%2Bn%5Cright)%5E%7B2%7D%7D%7Bn-m%7D$ ；如果m＝n，无解；】

列出方程解下列应用题(11~20)：

11、已知三个连续奇数的和等于 45，求这三个数。[提示：象 1,3,5 或者 11,13,15 就是三个连续奇数。连续奇数的特点跟连续偶数的特点一样，相邻两个数的差是 2，但每个数都不能被 2 整除]【13、15、17】

12、某学校的实习园地里收了青菜、甜菜和白菜，一共 1800 公斤，其中青菜是甜菜的 5 倍，而白菜比甜菜多 120 公斤，青菜、甜菜和白菜各收了多少公斤？【青菜1200公斤，甜菜240公斤，白菜360公斤】

13、某工厂第一个车间的人数比第二个车间的人数的 4/5 少 30 人，如果从第二个车间调 10 个人到第一个车间，那末第一个车间的人数就是第二个车间的人数的 3/4，求原来每个车间的人数。【第一车间170人，第二车间250人】

14、一个拖拉机队用施拉机耕一快地，第一天耕的比这块绝的 1/3 多 2 公顷，第二天耕的比剩下的地的 1/2 多1公顷，这时还剩下 38 公顷没有耕。这块地一共有多少公顷？【120公顷】

【说明】1公顷＝100公亩＝15市亩。1公亩＝100平方米。〖山注|| 目前常用面积单位中“亩”指的就是“市亩”，即 1平方公里＝100公顷＝1500市亩，1市亩＝10分亩＝666.67平方米〗

15、要从含盐 12.5% 的盐水 40 公斤里蒸发掉水分，制出含盐 20% 的盐水来，应该蒸发掉多少水？【15公斤】

16、第一个正方形一边的长比第二个正方形一边的长多 3 厘米，而第一个正方形的面积比第二个正方形的面积多 57 平方厘米，求每个正方形的面积。【121平方厘米，64平方厘米】

17、甲、乙两人，各走 14 公里，甲比乙快半小时；各走 1 小时，已知甲与乙速度之比是 8:7，求两个的速度。【甲4公里/时，乙(3又1/2)公里/时】

18、一块地的播种工作，甲、乙两人合作，20 小时可以做完。已知甲与乙速度之比是 5:4，甲、乙两人独做各需几小时？【甲36小时，乙45小时】

19、有甲、乙、丙三个数，依次小 1，已知乙数的倒数与甲数的倒数的 2 倍的和，与丙数的倒数的 3 倍相等。求这三个数。【4/5，－1/5，－6/5】

20、一个车工小组，用普通切削法工作了 6 小时以后，改用新的快速切削法，再工作 2 小时，一共完成全部任务的 1/2 。已知新方法工作 2 小时，可以完成普通方法工作 4 小时所完成的任务，用这两种方法单独工作去完成全部任务，各需多少小时？【普通方法20小时，快速方法10小时】

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