一个不等式的证明

证明：当时，

首先我们先来解决函数的取值范围

先求导：

所以我们需要解方程：，即

我们再次求导：

所以在实数范围内是单调递增的

所以当时，；当时，

所以当时，

所以

换元

所以

()

其他证明方法：

我们都知道柯西积分不等式:

令，得：

计算积分得：

化简：

最终得：

再让，得：