机械运动（选修一第二章，总结笔记）

2023-05-28 19:55 作者:syr56 0人读过 | 我要投稿

1.简谐运动；2.简谐运动的描述；3.简谐运动的回复力和能量；4.单摆；5.实验：用单摆测量重力加速度；6.受迫振动、共振

1.简谐运动

（1）弹簧振子

平衡位置(equilibrium position)：振子原来静止时的位置.

机械振动(mechanical vibration)：振子在平衡位置附近的往复运动，简称振动.

弹簧振子(spring oscillator)：小球和弹簧构成的系统.

【弹簧振子的位移—时间图象(x-t图象)】

用横坐标表示振子运动的时间(t)，纵坐标表示振子离开平衡位置的位移(x)，描绘出的图象就是位移随时间变化的图象，即x-t图象，如下图所示。

振子的位移：振子相对平衡位置的位移。

平衡位置：振子原来静止时的位置。平衡位置不一定是中心位置，如图2(a)所示物体的振动，物体经过平衡位置时不一定处于平衡状态，如图2(b)所示物体的振动。

弹簧振子是一种理想化模型。实际物体可看成弹簧振子的条件：①不计摩擦阻力和空气阻力；②不计弹簧的质量；③物体可视为质点；④弹簧的形变在弹性限度内。

【弹簧振子的振动分析】

①位移及其变化

位移指相对平衡位置的位移，由平衡位置指向振子所在的位置.当振子从平衡位置向最大位移处运动时，位移增大；当振子由最大位移处向平衡位置运动时，位移减小。

②速度及其变化

振子在平衡位置处速度最大，在最大位移处速度为零.振子由平衡位置向最大位移处运动时，速度减小；振子由最大位移处向平衡位置运动时，速度增大。

③加速度及其变化

水平弹簧振子所受弹簧的弹力是振子受到的合力，竖直弹簧振子所受的重力与弹力之和是振子受到的合力。不论是水平弹簧振子还是竖直弹簧振子，均满足：在平衡位置处所受的合力为零，加速度为零；而在最大位移处所受的合力最大，加速度最大。

（2）简谐运动及其图象

简谐运动(simple harmonic motion)：质点的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图象(x-t图象)是一条正弦曲线。注意：x-t图象不是振子的运动轨迹。

【x-t图像的应用】

①可直接读出不同时刻t的位移x值。位于x轴上方的x值表示位移为正，位于t轴下方的x值表示位移为负，如图3甲所示。

②判断任意时刻质点的振动方向。看下一相邻时刻质点的位置，如图乙中 $a$ 点，下一相邻时刻比 $t_0$ 时刻离平衡位置远，故 $a$ 点此刻向 $%2Bx$ 方向运动。

③速度的大小和方向可根据图象上某点的切线的斜率判断。图象上某点切线的斜率大小表示速度大小，斜率的正负表示运动的方向。在平衡位置，切线斜率最大，质点速度最大；在最大位移处，切线斜率为零，质点速度为0。在从平衡位置向最大位移处运动的过程中，速度减小；在从最大位移处向平衡位置运动的过程中，速度增大。

2.简谐运动的描述

（1）描述简谐运动的物理量

①振幅：振动物体离开平衡位置的最大距离。

振幅与位移的区别：（a）振幅等于最大位移的数值；（b）对于一个给定的振动，振动物体的位移是时刻变化的，但振幅是不变的；（c）位移是矢量，振幅是标量。

路程与振幅的关系：（a）振动物体在一个周期内的路程为四个振幅；（b）振动物体在半个周期内的路程为两个振幅（c）振动物体在 $%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D$ 个周期内的路程不一定等于一个振幅。

②全振动：振动物体以相同的速度相继通过同一位置所经历的过程，称为一次全振动。如下图所示，类似于O→B→O→C→O的一个完整的振动过程。

【全振动特征】

（a）物理量特征：位移(x)、加速度(a)、速度(v)三者第一次同时与初始状态相同。

（b）时间特征：历时一个周期。

（c）路程特征：振幅的4倍。

（d）相位特征：增加2π。

③周期和频率

周期(T)定义：做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间。单位：国际单位是秒(s)。

频率(f)定义：单位时间内完成全振动的次数。单位：赫兹(Hz)。

二者关系： $T%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bf%7D$ 。都是标量，反映了振动的快慢。

一个振动系统的周期、频率由振动系统决定，与振幅无关。

④相位：描述周期性运动在各个时刻所处的不同状态

（2）简谐运动的表达式

简谐运动的一般表达式为 $x%3DA%5Csin(%5Comega%20t%2B%5Cvarphi)$ 。 x表示振动物体相对于平衡位置的位移；t表示时间；A表示简谐运动的振幅； $%5Comega$ 叫做简谐运动的“圆频率”，表示简谐运动的快慢， $%5Comega%3D%5Cfrac%7B2%5Cpi%7D%7BT%7D%3D2%5Cpi%20f$ (与周期T和频率f的关系)。

$%5Comega%20t%20%2B%5Cvarphi$ 代表简谐运动的相位， $%5Cvarphi$ 表示时的t=0相位，叫做初相位(或初相)。

【相位差】

若两个简谐运动的表达式为 $x_1%3DA_1%5Csin(%5Comega%20t%2B%5Cvarphi_1)%EF%BC%8Cx_2%3DA_2%5Csin(%5Comega%20t%2B%5Cvarphi_2)$ ，则相位差为 $%5CDelta%20%5Cvarphi%3D(%5Comega%20t%20%2B%20%5Cvarphi_2)-(%5Comega%20t%20%2B%5Cvarphi_1)%3D%5Cvarphi_2-%5Cvarphi_1$ 。

【特殊点】

当 $(%5Comega%20t%2B%5Cvarphi)%3D2n%5Cpi%2B%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D$ 时(n为任意整数)， $%5Csin(%5Comega%20t%20%2B%5Cvarphi)%3D1$ ，即 $x%3DA$ ；

当 $(%5Comega%20t%2B%5Cvarphi)%3D2n%5Cpi%2B%5Cfrac%7B3%5Cpi%7D%7B2%7D$ 时(n为任意整数)， $%5Csin(%5Comega%20t%20%2B%5Cvarphi)%3D-1$ ，即 $x%3D-A$ ；

当 $(%5Comega%20t%2B%5Cvarphi)%3Dn%5Cpi$ 时(n为任意整数)， $%5Csin(%5Comega%20t%20%2B%5Cvarphi)%3D0$ ，即 $x%3D0$ 。

（3）简谐运动的周期性和对称性

如下图所示

【时间的对称】

①物体来回通过相同两点间的时间相等，即 $t_%7BDB%7D%3Dt_%7BBD%7D$ 。

②物体经过关于平衡位置对称的等长的两线段的时间相等，图中 $t_%7BOB%7D%3Dt_%7BBO%7D%3Dt_%7BOA%7D%3Dt_%7BAO%7D%EF%BC%8Ct_%7BOD%7D%3Dt_%7BDO%7D%3Dt_%7BOC%7D%3Dt_%7BCO%7D$ 。

【速度的对称】

①物体连续两次经过同一点(如D点)的速度大小相等，方向相反。

②物体经过关于O点对称的两点(如C与D)时，速度大小相等，方向可能相同，也可能相反。

【位移的对称】

①物体经过同一点(如C点)时，位移相同。

②物体经过关于O点对称的两点(如C与D)时，位移大小相等、方向相反。

3.简谐运动的回复力和能量

（1）简谐运动的回复力

①简谐运动：如果质点所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，质点的运动就是简谐运动。

②回复力

定义：使振动物体回到平衡位置的力。

方向：总是指向平衡位置。回复力为零的位置就是平衡位置。

表达式： $F%3D-kx$ 。k是比例系数，其值由振动系统决定，与振幅无关。只有水平弹簧振子，回复力仅由弹力提供，k为劲度系数。“－”号表示回复力的方向与偏离平衡位置的位移的方向相反。

简谐运动的加速度：由 $F%3D-kx$ 及牛顿第二定律 $F%3Dma$ 可知， $a%3D-%5Cfrac%7Bk_x%7D%7Bm%7Dx$ ，加速度 $a$ 与位 $x$ 的大小成正比，方向与位移方向相反。

回复力的性质：回复力是根据力的效果命名的，可能由合力、某个力或某个力的分力提供。它一定等于振动物体在振动方向上所受的合力，分析物体受力时不能再加上回复力。

例如：如图7甲所示，水平方向的弹簧振子，弹力充当回复力；如图乙所示，竖直方向的弹簧振子，弹力和重力的合力充当回复力；如图丙所示，m随M一起振动，m的回复力由静摩擦力提供。

物体做简谐运动的判断方法：简谐运动的回复力满足 $F%3D-kx$ ；简谐运动的振动图象是正弦曲线。

（2）简谐运动的能量

①能量转化

弹簧振子运动的过程就是动能和势能互相转化的过程。

特点：在最大位移处，势能最大，动能为零；在平衡位置处，动能最大，势能最小。对于同一个振动系统，振幅越大，振动的能量越大。

简谐运动是一种无能量损失的振动，所以其振幅保持不变，又称为等幅振动。

在简谐运动中，振动系统的机械能守恒，而在实际运动中都有一定的能量损耗，因此简谐运动是一种理想化的模型。

4.单摆

（1）单摆及单摆的回复力

单摆：如果细线的质量与小球相比可以忽略，球的直径与线的长度相比也可以忽略，这样的装置就叫做单摆。单摆是实际摆的理想化模型。

单摆的平衡位置：摆球静止时所在的位置。

单摆向心力来源：细线拉力和重力沿径向的分力的合力。

单摆的回复力来源：如下图所示，摆球的重力沿圆弧切线方向的分力提供回复力。

回复力的特点：在偏角很小时， $%5Csin%20%5Ctheta%20%5Capprox%20%5Cfrac%7Bx%7D%7Bl%7D$ ，

所以单摆的回复力为 $F%3D-mg%5Csin%20%5Ctheta%3D-%5Cfrac%7Bmg%7D%7Bl%7Dx$ ，即小球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总是指向平衡位置，单摆的运动可看成是简谐运动。

回复力的大小：在偏角很小时，摆球的回复力满足 $F%3D-kx$ ，此时摆球的运动可看成是简谐运动。

注意：单摆经过平衡位置时，回复力为零，但合外力不为零；单摆的回复力为小球受到的重力沿圆弧切线方向的分力，而不是小球受到的合外力。

（2）单摆的周期

伽利略发现了单摆运动的等时性，惠更斯得出了单摆的周期公式并发明了摆钟。

单摆振动的周期与摆球质量无关，在振幅较小时与振幅无关，但与摆长有关，摆长越长，周期越长。

单摆的周期公式： $T%3D2%5Cpi%5Csqrt%7B%5Cfrac%7Bl%7D%7Bg%7D%7D$ 。

单摆的周期公式在单摆偏角很小时成立，偏角为5°时，由周期公式算出的周期和准确值相差0.01%。

公式中 $l$ 是摆长，即悬点到摆球球心的距离 $l%3Dl_%7B%E7%BA%BF%7D%2Bl_%7Br%E7%90%83%7D$ 。

公式中 $g$ 是单摆所在地的重力加速度，由单摆所在的空间位置决定。

周期 $T$ 只与 $l$ 和 $g$ 有关，与摆球质量m及振幅无关，所以单摆的周期也叫固有周期。

5.实验：用单摆测量重力加速度

（1）实验原理

由 $T%3D2%5Cpi%5Csqrt%7B%5Cfrac%7Bl%7D%7Bg%7D%7D$ ，可得 $g%3D%5Cfrac%7B4%5Cpi%5E2l%7D%7BT%5E2%7D$ ，则测出单摆的摆长 $l$ 和周期 $T$ ，即可求出当地的重力加速度。

（2）实验器材

铁架台及铁夹，金属小球(有孔)、秒表、细线(1 m左右)、刻度尺、游标卡尺。

（3）实验步骤

①让细线穿过小球上的小孔，在细线的穿出端打一个稍大一些的线结，制成一个单摆。

②将铁夹固定在铁架台上端，铁架台放在实验桌边，把单摆上端固定在铁夹上，使摆球自由下垂.在单摆平衡位置处做上标记。

③用刻度尺量出悬线长 $l'$ (准确到mm)，用游标卡尺测出摆球的直径d，则摆长 $l%3Dl'%2B%5Cfrac%7Bd%7D%7B2%7D$ 。

④把单摆拉开一个角度，角度不大于5°，释放摆球。摆球经过最低位置时，用秒表开始计时，测出单摆完成30次(或50次)全振动的时间，求出一次全振动的时间，即为单摆的振动周期。

⑤改变摆长，反复测量几次，将数据填入表格。

（4）数据处理

公式法：每改变一次摆长，将相应的 $l$ 和 $T$ 代入公式 $g%3D%5Cfrac%7B4%5Cpi%5E2l%7D%7BT%5E2%7D$ 中求出 $g$ 值，求出 $g$ 的平均值。

设计如下实验表格

图像法：由 $T%3D2%5Cpi%5Csqrt%7B%5Cfrac%7Bl%7D%7Bg%7D%7D$ 得 $T%5E2%3D%5Cfrac%7B4%5Cpi%5E2%7D%7Bg%7Dl$ ，以 $T%5E2$ 为纵坐标，以 $l$ 为横坐标作出 $T%5E2-l$ 图像（如下图所示）。其斜率 $k%3D%5Cfrac%7B4%5Cpi%5E2%7D%7Bg%7D$ ，由图像的斜率即可求出重力加速度 $g$ 。