控制变量法的应用(补充②)

还是这道题:
B在以A为圆心，1为半径的圆上运动，C在直线l上运动，且圆心A到直线l的距离为2，求BC的最小值？

前两篇专栏采用控制变量法求取最小值。其中控制变量的过程中我们采用的是逐步调整的方法。比如先固定B，移动C是BC取得最小值。那么对于每一个特定的B，最小值都是对应的垂线段长，再求垂线段长的最小值即可。

而这里提供另一种控制变量的思路，就是每个变量轮流控制。

1、先控制B不变，移动C，则当BC垂直于直线l时取最小值

说明BC垂直于直线l是BC取得最小值的必要条件

(因为固定B点的情况下，其余的点C对应的BC长度一定比垂线段长，肯定不是最小值。相当于排除掉了大部分不满足的情况)

2、再控制C不变，移动B，则当A,B,C三点共线且B位于AC之间时BC取得最小值(最小值为AC-r)

说明A,B,C三点共线且B位于AC之间时BC是BC取得最小值的必要条件

由此我们得出BC取最小值的必要条件：

1、BC垂直于直线l

2、A,B,C三点共线且B位于AC之间时BC

仅当B,C在如下图的位置时同时满足以上的必要条件

此时BC=1

又由于题目让我们求最小值，说明最小值存在(充分性)。那只能是如上的这种情况了。

∴

我们再用轮流控制的方法解决下面一道题：

求半径为r的圆的内接三角形面积的最大值？

1、控制BC不动，当A位于优弧BC的中点时到BC边的距离最大，则面积最大

作BC边的中垂线与圆相交，取距离BC较远的那个交点就是取最大值时对应的A点

因此A位于BC中垂线上是取最大值的必要条件

同理

2、控制AB不动，可得：

C位于AB中垂线上是取最大值的必要条件

3、控制AC不动，可得：

B位于AC中垂线上是取最大值的必要条件

而中垂线上的点到两端点的距离相等，因此，结合上述3个必要条件可得：

△ABC是等边三角形

边长

面积

由于题目问最大值，说明最大值存在可求(充分性)，那只能是如上的这种情况了。

∴

明白了上述的轮流控制的思路，；理解偏导数就容易很多了。

首先有必要温故一下导数法求函数最值的方法。

求函数的最小值

定义域：R

求导，

令f'(x)=0，得x=0;

令f'(x)>0，得x>0，则f(x)在(0,+∞)单调递增;

令f'(x)<0，得x<0，则f(x)在(-∞,0)单调递减;

则当x=0时f(x)取最小值f(0)=1

这是高中时学的完整的严谨的做法，需判断单调性，再根据单调性得出最值。

下面的这个方法则可省去判断单调性的步骤，不过有如下注意事项。

依据：(1)若函数在一个开区间内连续可导，且在该区间内存在最值，那么最值在该区间的极值点处取得。

需要注意的是，如果是闭区间，那么最值可能在边界处取得，因此需要强调是开区间。

（2）对于的点(即函数的驻点),

若,则为极小值点;

若,则为极大值点;

若,则无法判断是否为极值点，需进一步判断

我们再用上述方法求的最小值

令，解得：x=0

，则x=0为函数的极小值点

由于定义域R为开区间，故最小值在该极小值处取得

∴最小值为f(0)=1

下面我们再用轮流控制的思路再做上一篇专栏提到的这一题：

求二元函数的最小值？

1、控制x不变，则

这是以y为自变量的二次函数，当时取最小值

因此，是函数取最小值的必要条件

2、控制y不变，则

这是以x为自变量的二次函数，当时取最小值

因此，是函数取最小值的必要条件

联立上述两必要条件，

解得：

由于题目让我们求最小值，说明最小值存在可求(充分性)。那么只能是上述情况了。

故最小值为7

其中，控制x不变，就把y当成自变量研究z-y函数的关系式；

控制y不变，就把x当成自变量研究z-x函数的关系式。

倘若z-y函数或z-x函数比较复杂，那么也需要借助导数这一工具了

参照上述过程，有：

1、控制x不变，对y求偏导(就是当y为自变量，其余的为常量求导，实质还是控制变量)得：

令，求得的就是z-y函数的极值点

(上述为二次函数，所以跟上文的求对称轴求出的结果是一样的)

由于y∈R，所以z-y函数取极值是z-y函数取最值的必要条件

ps:必要条件的由来可参考注意事项中的依据(1)

2、控制y不变，对x求偏导(就是当x为自变量，其余的为常量求导，实质还是控制变量)得：

令，求得的就是z-x函数的极值点

(上述为二次函数，所以跟上文的求对称轴求出的结果是一样的)

由于x∈R，所以z-x函数取极值是z-x函数取最值的必要条件

将两必要条件联立得：

解得：

由于题目让我们求最小值，说明最小值存在可求(充分性)。那么只能是上述情况了。

故最小值为7

下面作出二元函数的曲面图来展示上述过程背后的几何意义

控制x，就是用平行于z-O-y平面的平面去截这个曲面，截得的曲线解析式为z-y函数

对变量y求偏导就相当于对这个z-y函数的自变量y求导，那么其几何意义就是这条所截得的曲线的切线斜率

如下图所示，对于此题，当切线斜率为0时取得取得这条曲线的极值

(ps:由于此题z-y函数为二次函数，因此极值点对应于这条曲线的对称轴)

控制y不变也是同理，就是用平行于z-O-x平面的平面去截这个曲面，截得的曲线解析式为z-x函数

对变量x求偏导就相当于对这个z-x函数的自变量x求导，那么其几何意义就是这条所截得的曲线的切线斜率

如下图所示，对于此题，当切线斜率为0时取得取得这条曲线的极值

(ps:由于此题z-x函数为二次函数，因此极值点对应于这条曲线的对称轴)

再看看整体的曲线图

容易得到，这个极值点处不论用平行于z-O-y的平面去截，还是用z-O-x的平面去截，所截得的曲线在这一点的切线都是水平的

因此，连续可导的多元函数在一点处取得极值的必要条件为其各个变量在此点的偏导数均为0

∴对于上题，解方程组,可得到此必要条件

当然了，这里还有一点没说清楚的。如果要严谨地证明充分性(证明这个驻点是极值点)，那就得用海森矩阵了，这里就不展开论述了。不过题目让求最值就暗示最值可求，也默认充分性了。所以当我们“排除”掉大部分不满足必要性的情况后，只剩下一种情况时，这种情况即为所求。

此篇专栏主要介绍了控制变量的另一种方法：轮流控制。这个方法在求多元函数极值的偏导法中有所体现，对变量求偏导的实质是控制变量(将其他变量视为常量，也就是在控制这些变量)。

在专栏后半部分，则主要是结合图像直观地讲解偏导数的几何意义以及解释了“为什么要求偏导”(答：实质是控制变量)，带读者们初步认识偏导数。

另外，对于偏导数还有很多的知识没有提及，说实话大部分也还是在个人的知识盲区内，为了不对读者造成误导我只能讲掌握较全面的一些知识分享出来了。望以后系统地学习了这个体系的知识后再与读者们分享。

结合前面2篇专栏提及的逐步调整(控制变量思路之一)和奇妙的比喻，望能给读者带来对于控制变量法进一步的理解。