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从足球烯到拓扑学欧拉公式、皮克定理

2022-01-28 11:04 作者:匆匆-cc  | 我要投稿

基础介绍

        学名:碳60

        俗名:足球烯,富勒烯

        分子式:%5Cce%7BC60%7D

        分子结构:

        相对分子质量:720

        晶体类型:分子晶体

        Q:足球(烯)中有多少个五边形,多少个六边形?

        A:

        设五边形x个,六边形y个,E条边,V个顶点(当然可以认为V%3D60已知,也可以认为未知)。

        首先,每个五边形有5条边,每个六边形有6条边,每条边被2个图形共用,因此有

E%3D%5Cfrac%7B5x%2B6y%7D%7B2%7D

        其次,每个五边形有5个顶点,每个六边形有6个顶点,每个顶点被3个图形共用,因此有

V%3D%5Cfrac%7B5x%2B6y%7D%7B3%7D

        每个五边形与5个六边形相邻,每个六边形与3个五边形相邻,即每个五边形占用%5Cfrac%7B5%7D%7B3%7D个六边形,据此容易得到

%5Cfrac%7Bx%7D%7By%7D%3D%5Cfrac%7B3%7D%7B5%7D

        当然从以上条件已经可以解出

%5Cbegin%7Bcases%7D%0Ax%3D12%0A%5C%5Cy%3D20%0A%5C%5CV%3D60%0A%5C%5CE%3D90%0A%5Cend%7Bcases%7D

        这当然是正确的,但我们不止于此。

        ## 文中推导面数的方程可能不止这几个,仁者见仁,智者见智。

        这里隐藏了一个等式。

x%2By%2BV-E%3D2

        不妨记面数R%3Dx%2By,于是有

R%2BV-E%3D2

        该式为著名的拓扑学欧拉公式

        下面列出常见图形的面数、顶点数与棱数,以验证该公式。

%5Cbegin%7Barray%7D%7B%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7C%7D%0A%5Chline%0A%5Ctextbf%7B%E5%9B%BE%E5%BD%A2%7D%20%26%20R%20%26%20V%20%26E%20%26R%2BV-E%5C%5C%0A%5Chline%0A%5Ctextbf%7B%E9%95%BF%E6%96%B9%E4%BD%93%7D%20%26%206%20%26%208%20%26%2012%20%26%202%5C%5C%0A%5Chline%0A%5Ctextbf%7B%E4%B8%89%E6%A3%B1%E6%9F%B1%7D%20%26%205%20%26%206%20%26%209%20%26%202%5C%5C%0A%5Chline%0A%5Ctextbf%7B%E5%9B%9B%E9%9D%A2%E4%BD%93%7D%20%26%204%20%26%204%20%26%206%20%26%202%20%5C%5C%0A%5Chline%0A%5Ctextbf%7B%E4%BA%94%E6%A3%B1%E5%8F%B0%7D%20%26%207%20%26%2010%20%26%2015%20%26%202%5C%5C%0A%5Chline%0A%5Cend%7Barray%7D

        对于该式的证明有许多,这里给出一个便于理解的通行版本。

        简单来说,

        如图是一个多面体(此处以四面体为例)。

        容易得到,

%5Cbegin%7Barray%7D%7B%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7C%7D%0A%5Chline%0A%5Ctextbf%7B%E5%9B%BE%E5%BD%A2%7D%20%26%20R%20%26%20V%20%26E%20%26R%2BV-E%5C%5C%0A%5Chline%0A%5Ctextbf%7B%E5%9B%9B%E9%9D%A2%E4%BD%93%7D%20%26%204%20%26%204%20%26%206%20%26%202%20%5C%5C%0A%5Chline%0A%5Cend%7Barray%7D

        现将该多面体压扁成一个平面。

        容易发现面、顶点和棱的数目均不会发生变化。

        然后我们开始去棱。

        可以看出,去掉第一条棱后,同时也少了一个面,则所要证明的结论不变。

        同理,去掉余下的棱,直至只剩下一个面。

        然后我们开始去顶点。

        可以看出,去掉第一个顶点后,同时也少了一条棱,则所要证明的结论不变。

        同理,去掉余下的顶点,直至只剩下一个顶点。

剩余最后一条棱

        于是乎,剩余一个点,一个面,欧拉公式成立。

        详细的动图参考下面的视频链接。

        有关广义欧拉公式等拓展内容,可参考下面的视频。

        拓扑学欧拉公式是图论的重要内容。

不得不提另一个类似的定理

皮克定理:

    对于格点多边形,有:

S%3Dn%2B%5Cfrac%7Bs%7D%7B2%7D-1

    其中n表示多边形内部的点数,s表示多边形边界上的点数,S表示多边形的面积。

验证与证明

        先证矩形。

图1

        如图1,我们有

%5Cbegin%7Barray%7D%7B%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7C%7D%0A%5Chline%0AS%20%26%20n%20%26%20s%20%26%20n%2B%5Cfrac%7Bs%7D%7B2%7D-1%5C%5C%0A%5Chline%0A1%20%26%200%20%26%204%20%26%201%20%5C%5C%0A%5Chline%0A%5Cend%7Barray%7D

图2

        如图2,我们有

%5Cbegin%7Barray%7D%7B%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7C%7D%0A%5Chline%0AS%20%26%20n%20%26%20s%20%26%20n%2B%5Cfrac%7Bs%7D%7B2%7D-1%5C%5C%0A%5Chline%0A2%20%26%200%20%26%206%20%26%202%20%5C%5C%0A%5Chline%0A%5Cend%7Barray%7D

图3

        如图3,我们有

%5Cbegin%7Barray%7D%7B%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7C%7D%0A%5Chline%0AS%20%26%20n%20%26%20s%20%26%20n%2B%5Cfrac%7Bs%7D%7B2%7D-1%5C%5C%0A%5Chline%0A4%20%26%201%20%26%208%20%26%204%20%5C%5C%0A%5Chline%0A%5Cend%7Barray%7D

        从中得到启发:

            对于任意矩形,皮克定理成立。

        事实上,对任意m%5Ctimes%20n矩形,我们都有

%5Cbegin%7Barray%7D%7B%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7C%7D%0A%5Chline%0AS%20%26%20n%20%26%20s%20%26%20n%2B%5Cfrac%7Bs%7D%7B2%7D-1%5C%5C%0A%5Chline%0Amn%20%26%20(m-1)(n-1)%20%26%202(m%2Bn)%20%26%20mn%20%5C%5C%0A%5Chline%0A%5Cend%7Barray%7D

        再证直角三角形。

图4

        如图4,我们有

%5Cbegin%7Barray%7D%7B%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7C%7D%0A%5Chline%0AS%20%26%20n%20%26%20s%20%26%20n%2B%5Cfrac%7Bs%7D%7B2%7D-1%5C%5C%0A%5Chline%0A2%20%26%200%20%26%206%20%26%202%20%5C%5C%0A%5Chline%0A%5Cend%7Barray%7D

        从中得到启发:

            对于任意直角三角形,皮克定理成立。

        事实上,对任意m%5Ctimes%20n直角三角形,我们都有

%5Cbegin%7Barray%7D%7B%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7C%7D%0A%5Chline%0AS%20%26%20n%20%26%20s%20%26%20n%2B%5Cfrac%7Bs%7D%7B2%7D-1%5C%5C%0A%5Chline%0A%5Cfrac%7Bmn%7D%7B2%7D%20%26%20%3F%20%26%20%3F%20%26%20%3F%20%5C%5C%0A%5Chline%0A%5Cend%7Barray%7D

        我们并不知道%3F处为多少,但是我们知道两个直角三角形可以拼成一个矩形。

        假设直角三角形三边上(不含端点)各有a%2Cb%2Cc个点在格点上,内部有n个格点,这里c对应的是斜边(不含端点)上的格点数。

        显然有

S%3D%5Cfrac%7B(a%2B1)(b%2B1)%7D%7B2%7D

        对于矩形而言,有

ab%3D2n%2Bc

        根据定义有

s%3Da%2Bb%2Bc%2B3

        代入得

S%3D%5Cfrac%7B(a%2B1)(b%2B1)%7D%7B2%7D%3D%5Cfrac%7Bab%2Ba%2Bb%2B1%7D%7B2%7D%3D%5Cfrac%7B2n%2Bc%2Ba%2Bb%2B1%7D%7B2%7D%3D%5Cfrac%7B2n%2Bs-2%7D%7B2%7D%3Dn%2B%5Cfrac%7Bs%7D%7B2%7D-1

    ## 当然可加性可以直接得出

        最后证任意三角形。

图5

        如图5,我们有

%5Cbegin%7Barray%7D%7B%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7C%7D%0A%5Chline%0AS%20%26%20n%20%26%20s%20%26%20n%2B%5Cfrac%7Bs%7D%7B2%7D-1%5C%5C%0A%5Chline%0A11%20%26%2010%20%26%204%20%26%2011%20%5C%5C%0A%5Chline%0A%5Cend%7Barray%7D

        从中得到启发:

            对于任意三角形,皮克定理成立。

        当然,这可以根据直角三角形可加性直接得出。

        关于可加性的详细证明可以看下一部分。

        纷纷扰扰这么多,说到头是一个可加性

        把任意格点多边形分割为格点三角形,等价于用格点三角形拼接为格点多边形。

        让我们看一看格点多边形拼接时的情况。

蓝点:归属左边图形 粉点:归属右边图形 黑点:变化点 灰点:缺失点

        我们发现:

            黑点的地位从边界上的点变为了内部的点,计算权重也变为了原来的两倍(这个2来源于公式)。

            蓝点、粉点的地位不变,计算权重不变。

            灰点的地位不变,计算权重却变为了原来的两倍(这个2来源于计算了两次),即多加了两次一半,多加了1

        因此,公式末尾的减去1是合理的,这使得皮克定理具备了可加性。

        综上所述,对于任意格点图形,皮克定理成立。

        同时,这表明皮克定理适用的范围不包含包含“洞”的图形,比如说:

        读者可自行验证。

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