从足球烯到拓扑学欧拉公式、皮克定理
基础介绍
学名:碳60
俗名:足球烯,富勒烯
分子式:
分子结构:

相对分子质量:
晶体类型:分子晶体

Q:足球(烯)中有多少个五边形,多少个六边形?
A:
设五边形个,六边形
个,
条边,
个顶点(当然可以认为
已知,也可以认为未知)。
首先,每个五边形有条边,每个六边形有
条边,每条边被
个图形共用,因此有
其次,每个五边形有个顶点,每个六边形有
个顶点,每个顶点被
个图形共用,因此有
每个五边形与个六边形相邻,每个六边形与
个五边形相邻,即每个五边形占用
个六边形,据此容易得到
当然从以上条件已经可以解出
这当然是正确的,但我们不止于此。
## 文中推导面数的方程可能不止这几个,仁者见仁,智者见智。
这里隐藏了一个等式。
不妨记面数,于是有
该式为著名的拓扑学欧拉公式。
下面列出常见图形的面数、顶点数与棱数,以验证该公式。
对于该式的证明有许多,这里给出一个便于理解的通行版本。
简单来说,
如图是一个多面体(此处以四面体为例)。

容易得到,
现将该多面体压扁成一个平面。

容易发现面、顶点和棱的数目均不会发生变化。
然后我们开始去棱。

可以看出,去掉第一条棱后,同时也少了一个面,则所要证明的结论不变。
同理,去掉余下的棱,直至只剩下一个面。


然后我们开始去顶点。

可以看出,去掉第一个顶点后,同时也少了一条棱,则所要证明的结论不变。
同理,去掉余下的顶点,直至只剩下一个顶点。


于是乎,剩余一个点,一个面,欧拉公式成立。
详细的动图参考下面的视频链接。

有关广义欧拉公式等拓展内容,可参考下面的视频。

拓扑学欧拉公式是图论的重要内容。

不得不提另一个类似的定理
皮克定理:
对于格点多边形,有:
其中n表示多边形内部的点数,s表示多边形边界上的点数,S表示多边形的面积。

验证与证明
先证矩形。

如图1,我们有

如图2,我们有

如图3,我们有
从中得到启发:
对于任意矩形,皮克定理成立。
事实上,对任意矩形,我们都有

再证直角三角形。

如图4,我们有
从中得到启发:
对于任意直角三角形,皮克定理成立。
事实上,对任意直角三角形,我们都有
我们并不知道处为多少,但是我们知道两个直角三角形可以拼成一个矩形。
假设直角三角形三边上(不含端点)各有个点在格点上,内部有
个格点,这里
对应的是斜边(不含端点)上的格点数。
显然有
对于矩形而言,有
根据定义有
代入得
## 当然可加性可以直接得出

最后证任意三角形。

如图5,我们有
从中得到启发:
对于任意三角形,皮克定理成立。
当然,这可以根据直角三角形可加性直接得出。
关于可加性的详细证明可以看下一部分。

纷纷扰扰这么多,说到头是一个可加性。
把任意格点多边形分割为格点三角形,等价于用格点三角形拼接为格点多边形。
让我们看一看格点多边形拼接时的情况。

我们发现:
黑点的地位从边界上的点变为了内部的点,计算权重也变为了原来的两倍(这个2来源于公式)。
蓝点、粉点的地位不变,计算权重不变。
灰点的地位不变,计算权重却变为了原来的两倍(这个2来源于计算了两次),即多加了两次一半,多加了1
因此,公式末尾的减去1是合理的,这使得皮克定理具备了可加性。
综上所述,对于任意格点图形,皮克定理成立。
同时,这表明皮克定理适用的范围不包含包含“洞”的图形,比如说:

读者可自行验证。